如何将定点数除以小浮点数？

Question

我需要将一组 5U11 数字除以 6.02，并且更愿意这样做而不是强制转换为浮动和返回。

5U11 表示一个 16 位无符号数，其中 11 个最低有效位表示小数部分。

我应该如何表示6.02，单次计算误差的上键是多少？

Answer 1

简单的 100 倍就足够了。

uns16_t x_5U11;
uns32_t acc;
acc = x_5U11;
acc *= 100;
acc += 301; // for round to nearest rather than truncation.
acc /= 602;

错误界限：x_5U11 中的 1/2 LSbit。

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如果速度是最重要的，那么按照@alastai 的建议执行乘法和除法（通过移位）是要走的路。通过适当的四舍五入，答案应该在 +/- 1 LSBit 以内。

如果准确性比此方法最重要，则此方法提供 +/- 1/2 LSbit（最佳答案）。

[编辑] 感谢@Ingo Leonhardt 指出我有一个倒置的解决方案。

Answer 2

解决这个问题最直接的方法是将 6.02 的倒数计算为 16 位量；即计算回合（2 ^ 16 / 6.02）= 0x2a86。注意，最高位没有设置，所以我们可以选择更高的被除数并重新计算以获得更好的精度；在这种情况下，round(2^18 / 6.02) = 0xaa1a。

现在，取您的 5U11 数字并进行 16x16 到 32 位加宽乘法，然后右移（在本例中）18 位以获得结果，作为 5U11 值。

例如：

14.3562 * (2^18 / 6.02) = 625148.122 / 2^18 = 2.384
0x72d9  * 0xaa1a        = 0x4c4fc40a >> 18  = 0x1313

这样做确实会降低一些准确性，并且可以稍微改进这种幼稚的方法（请参阅 Henry S. Warren 的 Hacker's Delight 一书，了解有关此主题的更多信息和其他有用的东西）。

显然，如果您的机器能够进行更广泛的乘法运算，则可以将除数的大小进一步增加 2^18，这将提高您的准确性。

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更新

四舍五入

如果你想四舍五入到最接近，你应该添加 d / 2 其中 d 是你的被除数（所以在上面的例子中，被除数是 2^18，因此舍入值为 2^17 或 0x20000。

错误分析

鉴于域较小，最简单的方法是进行详尽搜索以确定最大误差。对于上面的示例并通过添加0x20000 使用最近舍入，最大错误结果是在 x = 0xfa19:

0xfa19 * 0xaa1a + 0x20000 = 0xa62e008a >> 18 = 0x298c

实际答案应该是

31.2622 / 6.02 = 5.193058

而我们的答案是

0x298c * 2^-11 = 5.193359

此实例中的误差为 0.000302，即 LSB 的 0.62。

改进这些结果

可以选择更具体的舍入常数来最小化误差范围；从本质上讲，这让我们可以弥补乘法逆元（此处为0xaa1a）不精确的事实。在这个特定的例子中，最佳值似乎在 0x1c200 附近，它产生的误差范围是 0.56 个 LSB。