求解精确覆盖的算法 X：脂肪矩阵

Question

当我阅读有关 Knuth 的算法 X 以解决确切的覆盖问题时，我想到了一个需要澄清的极端情况。

这是我的假设：

1. 给定一个矩阵 A，算法 X 的“目标是选择行的一个子集，以便数字 1 在每一列中恰好出现一次。”
2. 如果矩阵为空，则算法成功终止，然后解决方案是在该点之前记录在部分解决方案中的行的子集。
3. 如果有一列是 0，算法将失败终止。

供参考：http://en.wikipedia.org/wiki/Algorithm_X

考虑矩阵 A： [[1 1 0] [0 1 1]]

我采取的步骤：

给定矩阵 A：

1. Choose a column, c, with the least number of 1's. I choose: column 1

2. Choose a row, r, that contains to a 1 in column c. I choose: row 1

3. Add r to the partial solution.

4. For each column j such that A(r, j) = 1:

       For each row i such that A(i, j) = 1:

           delete row i

       delete column j

5. Matrix A is empty. Algorithm terminates successfully and solution is allegedly: {row 1}.

但是，这显然不是这种情况，因为第 1 行仅包含 [1 1 0] 并且显然不包含第 3 列。

我会假设算法应该在某个时候将矩阵减少到只有一个 0 并且终止失败的程度。

有人可以解释一下吗？

Answer 1

我认为这里的混淆只是在使用术语空矩阵。如果您阅读 Knuth 的原始论文（链接在您引用的 Wikipedia 文章中），您可以看到他将行和列视为双向链表。他说矩阵是空的，并不是说它没有条目，他的意思是所有的行和列对象都被删除了。

为了澄清，我将用小写字母标记行，用大写字母标记列，如下所示：

   | A | B | C
---------------
 a | 1 | 1 | 0
---------------
 b | 0 | 1 | 1

该算法表明您可以确定地选择一列（使用您希望使用的任何规则），他建议选择 1 数量最少的列。因此，我们将按照您的建议继续并选择列 A。 A 列中唯一带 1 的行是 a 行，因此我们选择 a 行并将其添加到可能的解决方案 { 一个 }。现在，行 a 在列 A 和 B 中有 1，所以我们必须删除这些列，以及这些列中包含 1 的所有行，即是，行 a 和 b，就像你做的那样。生成的矩阵只有一列 C 并且没有行：

   | C
-------

这不是一个空矩阵（它还剩下一列）。但是，列 C 中没有 1，所以我们没有成功终止，如算法所示。

这可能看起来很奇怪，但如果我们打算对Exact Cover Problem 使用关联矩阵，这是一个非常重要的情况，因为列表示我们希望覆盖的集合 X 的元素，而行表示 X 的子集。所以有一些列但没有行的矩阵代表了确切的覆盖问题，其中可供选择的子集集合为空（但仍有点需要覆盖）。

如果此描述导致您的实现出现问题，有一个简单的解决方法：只需在每个问题中包含空集。空集（不包含 X 点）由一行全零表示。它永远不会被您的算法选择为解决方案的一部分，永远不会与任何其他选定的行发生冲突，但始终确保矩阵是非空的（至少有一行），直到所有列都被删除，这就是你的全部关心，因为您需要确保每一列都被某行覆盖。