是否存在在少于 n^3 次迭代中找到 n*n 矩阵乘积的算法？答案

【问题标题】：Does an algorithm exist that finds the product of a n*n matrix in less than n^3 iteration?是否存在在少于 n^3 次迭代中找到 n*n 矩阵乘积的算法？
【发布时间】：2014-08-23 16:17:48
【问题描述】：

我读到有一种算法可以计算复杂度为 n^(2.3) 的矩阵的乘积，但找不到该算法。

【问题讨论】：

en.wikipedia.org/wiki/Coppersmith%E2%80%93Winograd_algorithm
我猜你的意思是标题中的“n*n 矩阵”而不是“2*2 矩阵”？
谢谢。我将编辑问题。
只是指出 en.wikipedia.org/wiki/Strassen_algorithm 虽然在 2.807 时速度较慢，但可以合理理解，并且可以在实践中使用。
Strassen 的算法有一些数值不稳定性，但在 8k x 8k 时很酷，但还需要更多内存。

标签： algorithm matrix matrix-multiplication

【解决方案1】：

已经找到了几种用于矩阵乘法的算法，其大 O 小于 n^3。但这是基于大 O 符号得出结论的问题之一。它只给出当 n 趋于无穷时的限制行为。在这种情况下，一个更有用的指标是总时间复杂度，其中包括系数和低阶项。

对于一般算法，时间复杂度可能是 An^3 + Bn^2 +...

对于Coppersmith-Winograd 算法的情况，n^2.375477 项的系数非常大，以至于对于所有实际目的，具有 O(n^3) 复杂度的一般算法更快。

Strassen Algorithm 同样适用于单个元素。然而，有一个 paper 声称使用混合算法，该算法使用 Strassen 算法将矩阵块降低到某个限制，然后切换到 O(n^3) 算法对于大型矩阵来说更快。

因此，尽管存在时间复杂度较小的算法，但我知道的唯一有用的是 Strassen 算法，它仅适用于大型矩阵（无论大意味着什么）。

编辑：Wikipedia 实际上对矩阵乘法算法有一个很好的总结。以下是来自同一链接的图表，显示了不同算法与发现年份的 omega 减少情况。

https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_multiplication#mediaviewer/File:Bound_on_matrix_multiplication_omega_over_time.svg

【讨论】：

【解决方案2】：

Strassen Algorithm 能够将渐近复杂度小于 O(n^3) 的矩阵相乘。

【讨论】：

【解决方案3】：

Coppersmith–Winograd 算法计算 NxN 矩阵在 O(n^{2.375477}) 渐近时间内的乘积。

【讨论】：

是的，但出于所有实际目的，它会比 O(n^3) 算法慢得多，因为 n^2.375477 项前面的常数比 from 中的那个大得多n^3 项。渐近时间复杂度可能会产生误导。