图上的谜题

Question

给定一个无向图 G=(V,E)，每个节点 i 都与“Ci”个对象相关联。在每一步，对于每个节点 i，Ci 对象在 i 的邻居之间平均分配。经过K步，输出对象最多的前5个节点的对象个数。

以下是一步完成的一个示例：
A 的对象被 B 和 C 平分。
B 的对象被 A 和 C 平分。
C 的对象被 A 和 B 平分。

一些限制： |V|

我目前的想法是：用一个矩阵来表示每一步的变换。 这个问题转化为矩阵幂的计算。但是考虑到|V|，这个解决方案太慢了。可以是 10^5。

有没有更快的方法？

Answer 1

单步矩阵方程类似于M x = x'，其中x是当前节点内容的向量，x'是一步后的内容。即x' = M x。后面的内容是x" = M x' = M(M x)。下面是 M 的示例，其中图的邻接矩阵显示在左侧。标题为#nbr 的列是节点a、b ... e 的邻居数。矩阵M 是由邻接矩阵通过将每个 1 替换为与同一列中的个数相等的分数而形成的。

  a b c d e  #nbr          matrix M
a 0 0 1 1 0   2       0   0  1/3 1/4  0
b 0 0 0 1 0   1       0   0   0  1/4  0
c 1 0 0 1 1   3      1/2  0   0  1/4 1/2
d 1 1 1 0 1   4      1/2  1  1/3  0  1/2
e 0 0 1 1 0   2       0   0  1/3 1/4  0

要从初始内容 x 开始执行 K 步，只需计算 (M^K) x。使用需要lg K 矩阵乘法的exponentiation method，lg 表示以 2 为底的对数。由于矩阵乘法通常具有 O(n^3) 复杂度，因此如果直接使用此方法，则为 O(lg K * n^3)如果使用 Coppersmith/Winograd 算法，则为 O(lg K * n^2.376)。复杂度可以降低到 O(n^2.376) - 也就是说，我们可以将 lg K 乘数 - 通过 diagonalizing M 放到 (P^-1)AP 的形式中，其中 M^K = (P^-1)(A^K)P 和 A^K是一个 O(n lg K) 操作，总体上给出 O(n^2.376)。对角化通常花费 O(n^3)，但 O(n^2.376)using Coppersmith/Winograd algorithm。