矩阵 mul 最大值估计答案

【问题标题】：matrix mul max value estimate矩阵 mul 最大值估计
【发布时间】：2011-02-13 21:29:11
【问题描述】：

给定矩阵乘积C = A*B，是否有N^2 方法来估计C 中的最大值？或者更确切地说，这样做的好方法是什么？

【问题讨论】：

“估计”是什么意思？
@Oli 获取max(abs(C))的合理上限

【解决方案1】：

这个怎么样：

对于A 中的每一行和B 中的每一列，求向量范数平方（即平方和）。 O(n^2)
对于A 中的行和B 中的列的每个组合，乘以相应的向量范数平方。 O(n^2)
找出其中的最大值。 O(n^2)

它的平方根将是max(abs(C)) 的上限。为什么？因为，从Cauchy-Schwartz inequality，我们知道|<x,y>|^2 <= <x,x>.<y,y>，其中<> 表示内积。我们已经为C中的每个点计算了这个关系的RHS；因此我们知道C（LHS）的对应元素必须更少。

免责声明：很可能有一种方法可以提供更严格的界限；这是我想到的第一件事。

【讨论】：

我在考虑获得最大的列和行并将其相乘。想知道 ifd 可能会更紧。
@aaa：这将产生一个始终 >= 我的方法的结果。

【解决方案2】：

显然，

N * max(abs(A)) * max(abs(B))

是一个上限（因为 C 的每个元素都是来自 A 和 B 的两个值的 N 个乘积之和）。

【讨论】：

这会高估太多
@aaa：可能有更好的界限，但是您可以轻松地在达到界限的地方构造 A 和 B，因此从这个意义上说，界限并没有高估。
如果内存成为问题，我可能会接受您的建议。基本上试图乘以一些块稀疏矩阵
@aaa：如果您的矩阵是稀疏的，这将大量高估，因为乘以N 依赖于矩阵相对“同质”的假设。跨度>
@Oli：你是对的，我昨天已经对你的答案投了赞成票。尽管如此，恕我直言，我的建议是对原始问题的正确答案。

【解决方案3】：

这是我的看法：

A,B,C

a(i) = max(abs(A(i,:)))
b(j) = max(abs(B(j,:)))

c(i,j) = N*max(a(i)*b(j))

你怎么看？将尝试 Oli 的答案，看看是什么给了我最好的近似值/性能。

【讨论】：

我相信这会得到与@Doc 的方法相同的结果。