求解 Ax=b，其中 A 是 MATLAB 中的大型带状稀疏矩阵答案

【问题标题】：Solving Ax=b where A is a large, banded, sparse matrix in MATLAB求解 Ax=b，其中 A 是 MATLAB 中的大型带状稀疏矩阵
【发布时间】：2014-08-06 14:00:09
【问题描述】：

我需要求解方程Ax = b，其中A 是一个大维矩阵但稀疏。 A 可能高达 70000 x 70000 甚至 30000，我担心！

现在A 也是一个带状矩阵，如下图所示。它由一个三对角矩阵加上上下非对角线中的元素组成。

例如：

x x 0 0 x 0 0 

x x x 0 0 x 0

0 x x x 0 0 x

0 0 x x x 0 0

x 0 0 x x x 0

0 x 0 0 x x x

0 0 x 0 0 x x

很遗憾，A 的元素没有任何模式，因为这是有限差分方案的结果。

关于如何在 MATLAB 中有效地解决这个问题有什么建议吗？

谢谢！

【问题讨论】：

mathworks.es/es/help/matlab/math/…
x = b\A 有什么问题？看：mldivide.
Shai，使用 70000 x 70000 矩阵时，程序变得异常缓慢。
@user157279 - 将您的矩阵转换为sparse，然后再次尝试求解：mathworks.com/help/matlab/ref/sparse.html。此外，求解 70000 x 70000... 显然会很慢。
@user157279 Matlab 线性代数函数经过高度优化并考虑了稀疏性 (mathworks.es/es/help/matlab/math/sparse-matrix-operations.html)。如果这很慢，我怀疑你可以让它更快

标签： matlab matrix linear-algebra sparse-matrix pde

【解决方案1】：

试试pcg()，它是 MATLAB 的标准配置。

【讨论】：

共轭梯度只能应用于某些类别的矩阵。具体来说：对称和正定矩阵。我们不能假设 OP 正在创建的矩阵属于此类。
@rayryeng：如果矩阵不是正定矩阵，那么您可以解决问题 A'Ax = A'b。