如何从 3 个二维矩阵（立方体面）中“恢复”一个 3 维（2 x 2 x 2）数组（立方体）

Question

我有这个数组：

    T <- array(c(.25,.1,.1,.1,.05,.1,.1,.2),c(2,2,2))

    # , , 1
    #      [,1] [,2]
    # [1,] 0.25  0.1
    # [2,] 0.10  0.1

    # , , 2
    #      [,1] [,2]
    # [1,] 0.05  0.1
    # [2,] 0.10  0.2

我想它可以理解为一种横穿第三维的“立方体”。它有行（维度 1）、列（维度 2）和“高度”（维度 3），可以这么说……

现在我可以对其中一个维度的值求和。有 3 种可能的组合：

    Tm1 <- apply(T0,c(1,2),sum)
    Tm2 <- apply(T0,c(1,3),sum)
    Tm3 <- apply(T0,c(2,3),sum)

现在我有了这个：

    #> Tm1
    #     [,1] [,2]
    #[1,]  0.3  0.2
    #[2,]  0.2  0.3

    #> Tm2
    #     [,1] [,2]
    #[1,] 0.35 0.15
    #[2,] 0.20 0.30

    #> Tm3
    #     [,1] [,2]
    #[1,] 0.35 0.15
    #[2,] 0.20 0.30

它们是立方体的“面孔”。

是否可以从这 3 个矩阵中恢复原始数组？ .换句话说，仅仅看它的“面”就可以知道这个“立方体”内部的分布吗？

如果是这样，该怎么做？ （我的意思是，“代数方式”和 R 算法......）

Answer 1

以下是我为您的问题想出解决方案的方法。首先，构建方程组，使得A %*% x = b（其中x 是要求解的值，T0 中的值）：

n <- prod(dim(T0))
b <- c(Tm1, Tm2, Tm3)
m <- length(b)
Ti  <- array(seq_along(T0), dim(T0))
Ti1 <- unlist(apply(Ti, c(1,2), list))
Ti2 <- unlist(apply(Ti, c(1,3), list))
Ti3 <- unlist(apply(Ti, c(2,3), list))

A <- matrix(0, nrow = m, ncol = n)
A[cbind(rep(1:m, each = 2), c(Ti1, Ti2, Ti3))] <- 1

cbind(A, b)
#                          b
#  [1,] 1 0 0 0 1 0 0 0 0.30
#  [2,] 0 1 0 0 0 1 0 0 0.20
#  [3,] 0 0 1 0 0 0 1 0 0.20
#  [4,] 0 0 0 1 0 0 0 1 0.30
#  [5,] 1 0 1 0 0 0 0 0 0.35
#  [6,] 0 1 0 1 0 0 0 0 0.20
#  [7,] 0 0 0 0 1 0 1 0 0.15
#  [8,] 0 0 0 0 0 1 0 1 0.30
#  [9,] 1 1 0 0 0 0 0 0 0.35
# [10,] 0 0 1 1 0 0 0 0 0.20
# [11,] 0 0 0 0 1 1 0 0 0.15
# [12,] 0 0 0 0 0 0 1 1 0.30

A 是一个非方阵，所以我使用广义逆来求解x：

library(MASS)
xsol <- ginv(A) %*% b
Tsol <- array(xsol, dim(T0))
Tsol

# , , 1
# 
#        [,1]   [,2]
# [1,] 0.2375 0.1125
# [2,] 0.1125 0.0875
# 
# , , 2
# 
#        [,1]   [,2]
# [1,] 0.0625 0.0875
# [2,] 0.0875 0.2125

此解决方案与您的初始 T0 不匹配，但您可以检查

apply(Tsol, c(1,2), sum)
#      [,1] [,2]
# [1,]  0.3  0.2
# [2,]  0.2  0.3

apply(Tsol, c(1,3), sum)
#      [,1] [,2]
# [1,] 0.35 0.15
# [2,] 0.20 0.30

apply(Tsol, c(2,3), sum)
#      [,1] [,2]
# [1,] 0.35 0.15
# [2,] 0.20 0.30

结论？不，不可能恢复您的原始矩阵。另一种显示方式是A 矩阵的秩qr(A)$rank 是7，而您有8 未知数。所以你需要一点额外的信息，例如T[1, 1] 是 0.25 来恢复你的原始数组：

A <- rbind(A, c(1, rep(0, n - 1)))
b <- c(b, 0.25)
qr(A)$rank
# [1] 8
xsol <- ginv(A) %*% b
Tsol <- array(xsol, dim(T0))
Tsol
# , , 1

#      [,1] [,2]
# [1,] 0.25  0.1
# [2,] 0.10  0.1

# , , 2

#      [,1] [,2]
# [1,] 0.05  0.1
# [2,] 0.10  0.2

Answer 2

这是一个更一般的连续变量情况下的代数解释。这可能有助于了解您不能这样做的根本原因。问题是您无法构建逆映射。下面，你可以用求和来代替积分符号，试着找到逆矩阵，它们就达到了上面 florel 所示的结果。因此，假设 f 在 x、y 和 z 的域中是可积的。你原来的表是

$$ w = f(x,y,z) $$

你的转变是

$$t(x) = \int_x f(x,y,z)dx = g(y,z)$$

你想要一个从 t(x) 到 w 的逆映射。这张地图是

$$\frac{\partial t(x)}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\int_x f(x,y,z)dx\right) = \frac{\partial}{\partial x}g(y,z) = 0$$

也就是说，一旦你整合了 x，你就无法从 g(y,z) 中恢复它。