numpy特征值的精度

Question

首先，我使用numpy.linalg.eigvalsh 找到 (4000x4000) 矩阵的特征值。然后，我改变了边界条件，期望特征值只有微小的变化。

减去特征值容易受到浮点错误的影响，因此我使用了一些相对容差。

现在假设我有一个特征值 A = 1.0001e-10 和另一个 B = 1.0050e-10。根据我对浮点运算的浅薄知识，A - B != 0。问题是，这些数字来自涉及多个数量级的线性代数计算。例如，其他特征值可能是1。

问题是，使用numpy.linalg.eigvalsh 计算的特征值的精度是多少？这个精度是相对于值 (A * eps)，还是相对于最大特征值？还是相对于原始矩阵的元素？

例如这个矩阵：

1      1e-20
1e-20  3

给出与此相同的特征值：

1     1e-5
1e-5  3

Answer 1

我不确定是否在 eigvalsh 下使用了 Lapack，但这可能很有趣：

对称/非对称特征问题的 Lapack 误差界限：

http://www.netlib.org/lapack/lug/node89.html

http://www.netlib.org/lapack/lug/node91.html

Answer 2

首先，求解器并不精确。其次，您的示例矩阵条件不佳：对角线元素比非对角线元素大几个数量级。这总是会导致数字问题。

根据简单代数，第二个矩阵的行列式是(1 * 3) - (1e5 * 1e5) = 3 - 1e-10。您已经可以看到精度问题实际上是最小元素精度的两倍。 （这同样适用于特征值。）即使 linalg 使用双精度，因为求解器是近似的，所以你会得到相同的答案。如果您将较小的值更改为 1e-3，您会开始看到差异，因为现在精度是数值近似的数量级。

这个具体问题has been asked before。您可以在this answer 中看到如何使用 sympy 以任意精度求解特征值。