不等大小、非 2 次幂操作数的 Karatsuba 乘法

Question

实现Karatsuba 大数乘法的最有效方法是什么？输入操作数大小不相等且大小不是 2 的幂，甚至可能不是偶数？填充操作数意味着额外的内存，我想尝试使其内存-高效。

我在非偶数大小的 Karatsuba 中注意到的一件事是，如果我们尝试将数字分成尽可能接近偶数的“两半”，那么一半将有 m+1 个元素，而另一半将有 m 个元素，其中 m = floor(n/2)，n 是拆分数中的元素数。如果两个数的奇数大小相同，那么我们需要计算大小为 m+1 的两个数的乘积，需要 n+1 存储，而不是 n 为偶数时的 n。所以我猜测奇数尺寸的 Karatsuba 可能比偶数尺寸需要更多的内存吗？

Answer 1

大多数情况下，操作数的长度不是 2 的幂。我认为这种情况很少见。大多数时候会有不同长度的操作数。但这对于 Karatsuba 算法来说不是问题。

实际上，我认为这里没有任何问题。这个开销（奇怪的长度）非常轻，绝对不是什么大问题。关于不同长度的问题 - 假设 X = 1234 和 Y = 45

所以，a = 12，b = 34，c = 0，d = 45 所以，在那之后X * Y = 10 ^ 4 * ac + 10 ^ 2 (ad + bc) + bd

ac = 0;
bd = 34 * 45;
ad + bc = (a + b) * (c + d) - ac - bd = 540;

而且，如果我们假设，我们可以轻松地将 2 位数字相乘 - 你可以得到答案 = 55530。同样，只要在任何计算器中乘以 1234 * 45 :) 所以，我看不出有任何内存问题不同长度的数字。

Answer 2

您可以将数字乘以 10 的幂，这样每个数字的位数都是偶数。应用 karatsuba 算法，他们将答案除以您将原始 2 个数字相乘以使它们相等的 10 次幂。

例如：123*12

计算 1230*1200 并将答案除以 1000。

Answer 3

在上面的 cmets 中回答您的疑问。诀窍是在小数计算的情况下按照公式计算 10 的幂。

10^2m(A.C) + 10^m((A+B).(C+D)-A.C-B.D) + B.D

m = n/2 + n%2

n is length of number

请参阅它详细解释的 wiki。