具有矩阵不同概率的赌场游戏

Question

这是我的任务：

彼得带着 1 美元去赌场。在 p 的概率下，Peter 赢得 1 美元，在 (1-p) 的概率下，他损失 1 美元。该过程可以看作是一个马尔可夫链。

如果彼得达到 0 美元，他就破产了，如果他设法达到 5 美元，他就高兴地回家。

求当 p= 30%、40%、50%、60% 和 70% 时，彼得带着 5 美元回家的概率。为每个概率构造矩阵，其中前 4 个状态是瞬态类（1-4 美元），后两个状态是两个循环状态（0 和 5 美元）。

我的解决方案

使用 when_converged 查找每个单独的矩阵何时收敛（P^n = P^n+1）。

然后使用 mpow 中的 n 来查看从 1 美元变为 5 美元，即从状态 1 变为 6 的概率。

这是我的代码：

mpow <- function(P, n) {
    if (n == 0) {
        return(diag(nrow(P)))
    } else if (n == 1) {
        return(P)
    } else {
        return(P %*% mpow(P, n - 1))
    }
}

when_converged <- function(P, tol=0.00005) { 
    n = 1; diff = 1 
    while (diff > tol) { 
        A <- mpow(P, n) 
        B <- mpow(P, n+1) 
        diff <- max(abs(A - B)) 
        n <- n + 1 
    } 
    return(n) 
}


P30 <- matrix(c(0, 0.3, 0, 0, 0.7, 0, 0.7, 0, 0.3, 0, 0, 0, 0, 0.7, 0, 0.3, 0, 0, 0, 0, 0.7, 0, 0, 0.3, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1), nrow = 6, ncol = 6, byrow = TRUE)

P40 <- matrix(c(0, 0.4, 0, 0, 0.6, 0, 0.6, 0, 0.4, 0, 0, 0, 0, 0.6, 0, 0.4, 0, 0, 0, 0, 0.6, 0, 0, 0.4, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1), nrow = 6, ncol = 6, byrow = TRUE)

P50 <- matrix(c(0, 0.5, 0, 0, 0.5, 0, 0.5, 0, 0.5, 0, 0, 0, 0, 0.5, 0, 0.5, 0, 0, 0, 0, 0.5, 0, 0, 0.5, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1), nrow = 6, ncol = 6, byrow = TRUE)

P60 <- matrix(c(0, 0.6, 0, 0, 0.4, 0, 0.6, 0, 0.4, 0, 0, 0, 0, 0.6, 0, 0.4, 0, 0, 0, 0, 0.6, 0, 0, 0.4, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1), nrow = 6, ncol = 6, byrow = TRUE)

P70 <- matrix(c(0, 0.7, 0, 0, 0.3, 0, 0.7, 0, 0.3, 0, 0, 0, 0, 0.7, 0, 0.3, 0, 0, 0, 0, 0.7, 0, 0, 0.3, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1), nrow = 6, ncol = 6, byrow = TRUE)

when_converged(P30, 0.00005)

从 Rstudio 我得知 P30 在 35 处收敛。

when_converged(P40, 0.00005)

我从 Rstudio 得知 P40 在 37 处收敛。

when_converged(P50, 0.00005)

我从 Rstudio 得知 P50 收敛于 47。

when_converged(P60, 0.00005)

从 Rstudio 我得知 P60 收敛于 61。

when_converged(P70, 0.00005)

我从 Rstudio 得知 P70 收敛于 79。

mpow(P30, 35)

mpow(P40, 37)

mpow(P50, 47)

mpow(P60, 61)

mpow(P70, 79)

我需要什么帮助

我从 Rstudio 得到的是，对于 mpow(P60, 61) 和 mpow(P70, 79)，与 mpow(P50, 47) 和 mpow(P40, 37) 相比，用 5 美元回家的可能性要小。赢得 1 美元的概率较小。这感觉不对。有什么我做错了吗？ 请尝试使用我的方法而不是使用完全不同的代码来解决它。

Answer 1

这就是我构建 P30 矩阵的方式……和你的不一样：

> P30 <- matrix(c(1,  0, 0,  0,  0, 0,
+                   0.7, 0, 0.3, 0, 0,  0, 
+                   0,  0.7, 0, 0.3, 0, 0, 
+                   0,  0, 0.7, 0, 0.3, 0,
+                   0,  0,  0,  0.7, 0 , 0.3,                  
+                   0,  0, 0, 0, 0, 1), nrow = 6, ncol = 6, byrow = TRUE)
> P30
     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,]  1.0  0.0  0.0  0.0  0.0  0.0
[2,]  0.7  0.0  0.3  0.0  0.0  0.0
[3,]  0.0  0.7  0.0  0.3  0.0  0.0
[4,]  0.0  0.0  0.7  0.0  0.3  0.0
[5,]  0.0  0.0  0.0  0.7  0.0  0.3
[6,]  0.0  0.0  0.0  0.0  0.0  1.0

请注意，在每一行中，输入列仅在 0 或 5 状态的情况下被发送到它自己，但在其他情况下，它被发送到相邻的输出列。因此，in-1 进入 out-0 或 out-2。使用列名和行名显示可能更清晰：

> rownames(P30) <- 0:5
> colnames(P30) <- 0:5
> P30
    0   1   2   3   4   5
0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
1 0.7 0.0 0.3 0.0 0.0 0.0
2 0.0 0.7 0.0 0.3 0.0 0.0
3 0.0 0.0 0.7 0.0 0.3 0.0
4 0.0 0.0 0.0 0.7 0.0 0.3
5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0

这有助于构建具有不同 P 值的矩阵

 p0 <-  matrix(0, nrow = 6, ncol = 6); p=.30
 p30 <- p0; p30 [cbind(2:5,1:4)] <- 1-p
             p30[cbind(2:5,3:6)] <- p
 p30[ cbind(c(1,1),c(6,6))] <- 1
 p30

     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,]  1.0  0.0  0.0  0.0  0.0  0.0
[2,]  0.7  0.0  0.3  0.0  0.0  0.0
[3,]  0.0  0.7  0.0  0.3  0.0  0.0
[4,]  0.0  0.0  0.7  0.0  0.3  0.0
[5,]  0.0  0.0  0.0  0.7  0.0  0.3
[6,]  0.0  0.0  0.0  0.0  0.0  1.0

三次迭代后的确定性或理论概率（从 state=1 开始：

c(0,1,0,0,0,0) %*% P30 %*% P30 %*% P30
#-----
         0 1     2 3     4 5
[1,] 0.847 0 0.126 0 0.027 0

同意你的mpow

> c(0,1,0,0,0,0) %*% mpow(P30 ,3)
         0 1     2 3     4 5
[1,] 0.847 0 0.126 0 0.027 0

expm 包中还有一个矩阵幂函数%^%。

> c(0,1,0,0,0,0) %*% expm::'%^%'( P30,3)
         0 1     2 3     4 5
[1,] 0.847 0 0.126 0 0.027 0