动态（即可变大小）Fenwick Tree？答案

【问题标题】：Dynamic (i.e. variable size) Fenwick Tree?动态（即可变大小）Fenwick Tree？
【发布时间】：2014-02-24 18:26:57
【问题描述】：

问题： 我偶然发现了可以轻松计算累积总和的 Fenwick 树（二进制索引树）。但是，我只找到了叶数（总和）是恒定的（但它们的值可以改变）的实现。 是否存在类似于广义 Fenwick 树的东西，它允许改变叶子（总和）的数量，即具有可变大小？

背景我目前正在编写一些随机模拟代码（在 C++ 中）：瓮中有球，每个球 i 都有一定的概率 p_i 被绘制。在绘制事件时，一个球被绘制（并移除）并被两个具有新概率的新球替换（并且所有概率都相应地重新调整；我已经有效地“重新调整”了，所以不要打扰它）。在某个时候，我开始移除球，使球的数量围绕一个恒定值波动（这是之前已知的）。为了有效地进行绘图，我想使用二叉树。标准的 Fenwick 树完全符合我的要求，只是它不允许改变瓮中球的数量。

典型数字 从 10 个球开始，添加球并在大约 1000 个时开始移除球，这样骨灰盒中的球在 900 到 1100 个之间（即添加和移除球，使数量保持在 1000 左右）。

目前的解决方法 估计需要的最大球数（有一定的安全余量，比如 1200 个球），并使恒定大小的 Fenwick 树变大，其中大多数球最初被抽出的概率为 0 并被连续更新。

非常感谢您的帮助！马蒂亚斯

【问题讨论】：

标签： c++ algorithm tree stochastic-process

【解决方案1】：

实际上，正常（没有以任何方式概括）Fenwick 树允许随时增加叶子的数量。

某些特定的实现可能不允许这样做。但这可以解决。例如，implementation from TopCoder 不允许更改叶子的数量。问题是update 函数从给定索引开始修改数组元素并向上，当它达到某个限制（MaxVal）时停止，在我们的例子中是事先不知道的。 read 函数向下迭代数组元素，因此它不需要知道当前数组的大小。如果我们在update和read之间交换数组迭代代码，这个问题可以解决：现在update不需要知道MaxVal，MaxVal在read中使用，我们可以使用最大的更新索引至MaxVal。

int read(int idx){
    int sum = 0;
    while (idx <= MaxVal){
        sum += tree[idx];
        idx += (idx & -idx);
    }
    return sum;
}

void update(int idx ,int val){
    while (idx > 0){
        tree[idx] += val;
        idx -= (idx & -idx);
    }
}

注释。

与 TopCoder 的实现不同（read 返回前缀总和），此实现提供后缀总和。如果您需要前缀和，只需从值的总和中减去 read 返回的值即可。
我选择了这个实现，因为 (1) 它是对知名 TopCoder 实现的简单修改，并且 (2) 它以非常对称的方式更新索引，因此只需将“+”更改为“-”即可从前缀到后缀。
否则我宁愿在索引计算中使用不同的按位运算。恕我直言，此博客：Fenwick trees demystified 提出了一个更好的选择，每次索引更新只有 2 次操作，而不是 3 次（但还需要一些修改以允许可变大小）。如果兼容性不是问题，我们可以通过使用一些特定的指令来做得更好，例如英特尔最近的指令集 (BMI1) 中的 BLSR。

【讨论】：