存储 M n 位二进制数总和的最大位宽答案

【问题标题】：Maximum bit-width to store a summation of M n-bit binary numbers存储 M n 位二进制数总和的最大位宽
【发布时间】：2017-06-14 01:53:20
【问题描述】：

我正在尝试找到计算包含 M 个 n 位无符号二进制数之和所需的最大位宽的公式。谢谢！

【问题讨论】：

好吧，如果我添加两个一位数字，它最多可以占用两位。如果我添加两个两位数，最坏的情况可能需要三位进行翻转。如果我添加两个三位数字，最坏的情况需要四个......
如果我将 1111 与 1 和 1 相加，4 位和 1 位，结果需要 5 位。与十进制没有什么不同，两个一位数可以需要两位数的结果，依此类推。

标签： verilog hardware fpga hdl

【解决方案1】：

所需的最大位宽应为~~ceil(log_2(M * (2^n - 1)))~~。

编辑：感谢@MBurnham，我现在意识到应该改为floor(log_2(M * (2^n - 1))) + 1。

【讨论】：

嗯...我用 wolfram alpha 对这两个公式进行了实验性测试...似乎还有什么不对...
@bfung Off 怎么样？
例如，对于 M = 9 和 n = 3，您建议的公式给出 7。当我在 wolfram alpha 中添加 0b111 9 次时，答案 = 6b111111。
@bfung 对于 M=9 和 n=3，我得到 6：(link)
请原谅，我的括号已关闭。非常感谢！

【解决方案2】：

假设为正整数，您需要 floor(log2(x)) + 1 位来存储 x。并且 m n 位数字的总和可以产生的最大值是 m * 2^n。所以我认为公式应该是

floor(log2(m * 2^n)) + 1

位。

【讨论】：

最大的n位数是2^n-1，不是2^n
@mbschenkel 对于只有 1 个数字，你是正确的，但是当你有两个数字的总和时，你可以将值转移到下一个数字。所以你需要为结转存储额外的一点
您已经使用m 来处理这个问题。如果B=2^n-1 是1 的最大可能值，那么m * B 是m 求和的最大可能总和，而不是m * (B + 1)。

【解决方案3】：

如果我添加 2 个数字，我需要比 2 个数字中的较大者多 1 位来存储结果。所以，如果我添加 2 个 n 位数，我需要 n+1 位来存储结果。

if I add another n-bit number, I need (n+1)+1         bits to store the result (that's 3 n-bit numbers added so far)
if I add another n-bit number, I need ((n+1)+1)+1     bits to store the result (that's 4 n-bit numbers added so far)
if I add another n-bit number, I need (((n+1)+1)+1)+1 bits to store the result (that's 5 n-bit numbers added so far)

所以，我认为你的公式是

n + M - 1

【讨论】：

这是一个上限，但不一定是所需的最小值（尽管 OP 要求最大值...）。将两个数字相加时，不要使用完整范围：例如 1+1=10，而不是 11，1+1+1=11 并且根本不使用第 3 位。这对于二进制补码负数是不同的。