查找具有区域约束的 Voronoi 细分答案

【问题标题】：Find Voronoi tessellation with area constraints查找具有区域约束的 Voronoi 细分
【发布时间】：2012-04-17 14:10:08
【问题描述】：

假设我们想要对具有 N 个点的矩形曲面进行 Voronoi 分区。 Voronoi 细分导致 N 个区域对应于 N 个点。对于每个区域，我们计算其面积并将其除以整个表面的总面积 - 称这些数字为 a1，...，aN。它们的和等于一。

假设现在我们有 N 个数字的预设列表，b1，...，bN，它们的总和等于一。

如何找到用于 Voronoi 分区的 N 个点的坐标中的一个选项（任意一个），例如 a1==b1, a2==b2, ..., aN==bN？

编辑：

经过一番思考，也许 Voronoi 分区并不是最好的解决方案，关键是要对表面进行随机不规则分割，以使 N 个区域具有适当的大小。 Voronoi 在我看来是合乎逻辑的选择，但我可能弄错了。

【问题讨论】：

您在寻找精确匹配吗？如果没有，我会使用一些遗传算法。
嗯，“几乎”——精确就足够了。唉，我不熟悉遗传算法，但感谢指点！
你为什么想要一个 voronoi 镶嵌？从答案/ cmets 听起来更像是您想要一个不规则/有吸引力的外观，并在区域上有一些限制。如果是这样的话，你应该这么说......
好吧，我对 Voronoi 分区有点盲目，似乎是最简单的实现。你有什么特别的想法可能更合适吗？

标签： algorithm computational-geometry voronoi

【解决方案1】：

我会选择一些遗传算法。

基本流程如下：

1) 创建 100 组属于您的矩形的随机点。

2) 对于每个集合，计算 voronoï 图和面积

3) 对于每组，评估它与预设权重的比较情况（称之为分数）

4) 按分数对点集进行排序

5) 丢弃 50 个最差的集合

6) 通过混合点从剩余的 50 个集合中创建 50 个新集合并添加一些随机点。

7) 跳转到第 2 步，直到满足条件（得分高于阈值、出现次数、花费时间等...）

你最终会（希望）得到一个“有点合适”的结果。

【讨论】：

+1。两个注意事项：(1) 使用人口中的集合数量（我认为在 100 到 1000 之间）可能是一个好主意，(2)simulated annealing 也可以解决这个问题并且可以更容易实现

【解决方案2】：

如果您要查找的不一定是 Voronoi 镶嵌，也可能是幂图，那么以下文章中描述了一个不错的算法：

F。 Aurenhammer、F. Hoffmann 和 B. Aronov，“Minkowski 型定理和最小二乘聚类”， Algorithmica，20:61-76 (1998)。 p>

他们的问题版本如下：给定多边形 P 中的 N 个点 (p_i)，以及一组非负实数 (a_i) 求和到 P 的面积，求权重 (w_i)，使得Power cell Pow_w(p_i) 与 P 的交点面积正好是 a_i。在论文的第 5 节中，他们证明了这个问题可以写成凸优化问题。要实施这种方法，您需要：

高效计算功率图的软件，例如CGAL 和
凸优化软件。我发现使用 L-BFGS 等准牛顿求解器在实践中会产生非常好的结果。

我在my webpage 上有一些代码正是这样做的，名称为“二次最优传输”。然而，这段代码不是很干净，也不是很好的文档，所以实现你自己的算法版本可能会一样快。您还可以查看我关于此主题的 SGP2011 论文，该论文可在同一页面上找到，以简要描述 Aurenhammer、Hoffman 和 Aronov 算法的实现。

【讨论】：

我对此进行了一些研究，但我很难阅读这篇论文。然而，这个想法似乎很好，我可能会实施它。谢谢！

【解决方案3】：

假设矩形的坐标轴与 x = 0 处的左边缘和 x = 1 处的右边缘以及 y = 0 处的水平平分线轴对齐。~~令 B(0) = 0 和 B(i) = b1 + ... + 双。将点放在 ((B(i-1) + B(i))/2, 0) 处。~~ 这是不对的。我们将 x 坐标设为 xi，使得 bi = (x(i+1) - x(i-1)) / 2，将 x(0) 替换为 0，将 x(n+1) 替换为 1。这是三对角线和应该有一个简单的解决方案，但也许你不想要这么无聊的 Voronoi 图；这将是一堆垂直分区。

对于一个看起来更随机的图，可能是受到了物理学启发：随机放置点，计算 Voronoi 图，计算每个单元的面积，使超重的单元对其邻居的点有吸引力，而过轻的单元排斥并计算一个小的每个点的增量，重复直到达到平衡。

【讨论】：

所以，你所有的点都在一条线上，所有的区域都是盒子。聪明的！即使我认为这不是 OP 正在寻找的 :)
呵呵，好主意，当然！但是，是的，我正在考虑生成随机镶嵌。比如，随机放置一些点，然后通过某种算法得出一个有效的分区。我当然不想要这种堕落的情况。 :)
但这就是你要的！

【解决方案4】：

当您计算最小生成树并移除最长边时，可以计算 voronoi 细分。然后，mst 子树的每个中心都是 voronoi 图的一个点。因此，voronoi 图是最小生成树的一个子集。

【讨论】：