我怎样才能得到从 1 到给定数字的所有数字相加的倒数？

Question

我不完全确定如何提出这个问题。我将尝试解释我正在尝试做的事情：

首先，我将把1（它永远是1）的所有数字加到一个范围内，比如10：

let input = 10
let out = 0

while (input > 0) {
  out += input--
}

// 10 + 9 + 8 .... + 2 + 1 = 55
console.log(out)

我要做的是从输出55 中获取输入数字10。即，

const out = addRange(10) // 55
inverseRange(out) // 10

我觉得可能有一个简单的公式可以得到这个，但我似乎无法弄清楚。我已经尝试过反复试验的解决方案，但没有成功，我觉得这也是一个糟糕的解决方案。

感谢任何帮助、建议或改进。谢谢。

Answer 1

首先，您可以将addRange 函数简化为Carl Gauss' formula、(first+last)*(last/2)，因为您总是从 1 开始工作：

(x ** 2 + x) / 2

您可以使用高度简化的二次公式来获取唯一的正值（因为您永远不会有负值）：

const addRange = x => (x ** 2 + x) / 2
const inverse = x => Math.sqrt(1 + 8 * x) / 2 - 0.5

console.log(addRange(10))
console.log(inverse(55))

说明：

首先，让我们分解高斯公式。我们已经知道当 x = 10 时，输出为 55，所以让我们这样写，并尝试求解 x：

(x + 1) / 2 * x = 55    
(x + 1) / 2 = 55 / x    // divide by x
x + 1 = 110 / x         // multiply by 2
x = 110 / x - 1         // minus 1
x^2 = 110 - x           // multiply by x
x^2 + x = 110           // add x
x^2 + x - 110 = 0       // minus 55

现在我们得到了一个二次方程。 我们可以使用quadratic formula来查找x：

首先，让我们将其写入 JS：

(-1 * b + Math.sqrt(Math.pow(b, 2) - (4 * a * c))) / (2 * a)

我们可以用 a 和 b 代替 1，它们在我们的方程中永远不会改变，因为它是负 30，我们可以将 4ac 之前的减号取反：

(-1 * 1 + Math.sqrt(Math.pow(1, 2) + (4 * 1 * c))) / (2 * 1)

简化为

(-1 + Math.sqrt(1 + (4 * c))) / 2
// or
Math.sqrt(1 + (4 * c)) / 2 - 0.5

但是请注意，在我们的等式中，我们的 55 加倍为 110，所以我们应该在我们的公式中做同样的事情 (4 -> 8)：

Math.sqrt(1 + (8 * c)) / 2 - 0.5