如何针对某些特定值对面板数据回归系数执行联合 Wald 检验？

Question

我想对我的固定效应回归系数进行简单的联合 Wald 检验，但我想将限制设置为非零值。 更具体地说，我想测试： H0: ai=0 and b=1 for each i 或者基本上，是否从固定效应模型（ai）中提取截距（我知道固定效应模型中没有截距，但您仍然可以通过 fixef() 命令提取它们，如果固定效应模型是，它们应该接近于零正确的模型）对于每个 i 都等于 0，我的系数 (bi) 等于 1。

这是我所拥有的：

library(plm)


form <- R_excess ~ I(beta_MKT_RF*MKT_RF) + I(beta_HML*HML) + I(beta_SMB*SMB)
reg1 <- plm(form, data=nlspd, model="within")

summary(reg1, vcov =function(x) vcovSCC(x, type="HC3", maxlag=12))

这是输出，你可以看到我的系数都接近 1：

Call:
plm(formula = form, data = nlspd, model = "within")

Balanced Panel: n = 10, T = 624, N = 6240

Residuals:
       Min.     1st Qu.      Median     3rd Qu.        Max. 
-7.8706e-02 -9.0319e-03  3.8278e-05  8.9624e-03  1.1349e-01 

Coefficients:
                         Estimate Std. Error t-value  Pr(>|t|)    
I(beta_MKT_RF * MKT_RF) 1.0023818  0.0072942 137.422 < 2.2e-16 ***
I(beta_HML * HML)       0.9985867  0.0527123  18.944 < 2.2e-16 ***
I(beta_SMB * SMB)       0.9731437  0.0355880  27.345 < 2.2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Total Sum of Squares:    18.067
Residual Sum of Squares: 1.5037
R-Squared:      0.91677
Adj. R-Squared: 0.91661
F-statistic: 7808.71 on 3 and 623 DF, p-value: < 2.22e-16

我还可以使用以下方法获得固定效果截距：

summary(fixef(reg1), vcov =function(x) vcovSCC(x, type="HC3", maxlag=12))
      Estimate  Std. Error t-value  Pr(>|t|)    
1   0.00127680  0.00062245  2.0512  0.040285 *  
2   0.00136923  0.00062251  2.1995  0.027877 *  
3   0.00104805  0.00062246  1.6837  0.092283 .  
4   0.00132979  0.00062259  2.1359  0.032727 *  
5  -0.00061048  0.00062252 -0.9807  0.326795    
6   0.00085262  0.00062247  1.3697  0.170816    
7  -0.00104724  0.00062250 -1.6823  0.092557 .  
8  -0.00089731  0.00062275 -1.4409  0.149672    
9  -0.00174805  0.00062292 -2.8062  0.005028 ** 
10 -0.00271173  0.00062343 -4.3497 1.385e-05 ***

现在我想对这些系数进行联合 wald 检验，以测试是否每个 i: H0: ai =0 和 b=1。

编辑：这与固定效应的 F 检验不同，因为我正在针对非零假设进行测试。

Answer 1

@Helix123 在 cmets 中提到的

The question 并没有完全满足您的需求（也不是关于测试 所有 系数是否为零），但它是相关的。特别是，如果您只想测试固定效应是否等于 0，您可以在此处找到答案。

然而，在您的情况下，除了关于固定效应的假设外，我们还测试 all 其他系数是否具有一些 非零 值。这就是它产生问题的原因。

如果您想测试I(beta_HML * HML) 的系数为零，那么提供给pFtest 的受限模型（请参阅链接问题中接受的答案）将是reg2，如

form <- R_excess ~ -1 + I(beta_MKT_RF * MKT_RF) + I(beta_SMB * SMB)
reg2 <- plm(form, data = nlspd, model = "pooling") # Note "pooling", which sets fixed effects to zero

如果你想测试这个变量的系数是1，那么你可以使用reg3 in

form <- R_excess - I(beta_HML * HML) ~ -1 + I(beta_MKT_RF * MKT_RF) + I(beta_SMB * SMB)
reg3 <- plm(form, data = nlspd, model = "pooling") # Note "pooling", which sets fixed effects to zero

由于您的假设是关于所有剩余的三个系数，因此我们实际上不会在右侧进行任何估计。碰巧plm 不喜欢这样并抛出empty model 错误。

如果我们使用lm，则在公式中还有另一个选项可以使用offset(beta_MKT_RF * MKT_RF)，它将系数固定为1，并且不会被估计。但是，plm 不允许 offset。

也就是说，似乎更简单的选择是使用lm，正如链接问题中所建议的那样。特别是，

data("Produc", package = "plm")
mU <- lm(log(gsp) ~ -1 + log(emp) + factor(state), data = Produc)
mR <- lm(log(gsp) ~ -1 + offset(log(emp)), data = Produc)
library(lmtest)
lrtest(mR, mU)
# Likelihood ratio test
#
# Model 1: log(gsp) ~ -1 + offset(log(emp))
# Model 2: log(gsp) ~ -1 + log(emp) + factor(state)
#   #Df  LogLik Df  Chisq Pr(>Chisq)    
# 1   1 -2187.9                         
# 2  50  1467.3 49 7310.4  < 2.2e-16 ***
# ---
# Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

这样mU 包含固定效果，可以不受限制地估计log(emp) 的效果，而mR 不包含固定效果，将log(emp) 的效果固定为1。

您没有提供数据，但应该接近

mU <- lm(R_excess ~ -1 + I(beta_MKT_RF * MKT_RF) + I(beta_HML * HML) +
           I(beta_SMB * SMB) + factor(var), data = nlspd)
mR <- lm(R_excess ~ -1 + offset(beta_MKT_RF * MKT_RF) + offset(beta_HML * HML) +
           offset(beta_SMB * SMB), data = nlspd)
lrtest(mR, mU)

其中var 是横截面尺寸变量。