如何使用 R 或 Python 在非线性模型中拟合参数值

Question

我有一个函数和一组点。函数是：

s(t) = m*g*t/k-(m*m/(k*k))*(exp(-k*t/m)-1)

其中m 和k 是有问题的参数。 我有(t, s(t))的数据

我需要找到最好的 m 和 k 以使这个方程适合我的数据，而我几乎没有编程经验。

R 似乎更容易：

  df<-read.table("freefall2.txt", header = FALSE, sep = '\t', 
               strip.white = TRUE, na.strings = "empty")
time<-c(df[1])
position<-c(df[3])
fallData<-data.frame(t=time, position=c(df[3]))
plot(fallData)
m<-60
k<-1

secs=c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20)
ft=c(16,62,138,  242,  366,  504,  652,  808,  971,
     1138, 1309, 1483, 1657, 1831, 2005, 2179, 2353, 2527, 2701, 2875)
jitter(secs)
jitter(ft)

fit<-nls(ft~(m*g*secs/k)+(m^2/k^2)*(exp(-k*secs/m)-1),start = list(k=k,m=m))

这是最好的尝试，但它会抛出：

Error in nlsModel(formula, mf, start, wts) : 
  singular gradient matrix at initial parameter estimates

Python 代码：

def func(t,m,k):
    g=32.174
    return m*g*t/k-(m*m/(k*k))*(np.exp(-k*t/m)-1)
def plotone():
    plt.plot(D[0], D[2], 'b-', label='data')
    popt, pcov = curve_fit(func, D[0], D[2])
    plt.plot(D[0], func(D[0], *popt), 'r-', label='fit')
    popt, pcov = curve_fit(func, D[0], D[2], bounds=(0, [120, 120]))
    plt.plot(D[0], func(D[0], *popt), 'g--', label='fit-with-bounds')
    plt.xlabel('x')
    plt.ylabel('y')
    plt.legend()
    plt.show()

它生成了一个线性模型，但没有返回所需的参数值。

在 Python 中重新启动尝试并进行大量配方采样：

x = D[0]
y = D[2]
ycount = 0
fitfunc = lambda t, m, k: m*32.174*t/k-(m*m/(k*k))*(np.exp(-k*t/m)-1) # Target function
errfunc = lambda t, m, k: fitfunc(t, m, k) - y[ycount]; ycount+=1# Distance to the target function
p0 = [-15., 0.8, 0., -1.] # Initial guess for the parameters
p1, success = optimize.leastsq(errfunc, D[2], args=(x, y))
print(type(p1))
print(type(success))
print(p1, success)

这个看起来更有前途，但我理解它可能是1/2。我不明白的部分是我在绘制它时正在查看的内容、如何为其提供模型函数、成功是什么以及一系列其他问题。

如果有人说如果你这样做 x、y 和 z 会起作用，我会这样做，但否则我想避开这个，因为它涉及更多而且我没有多少时间.

请帮助我将这些参数拟合到我的模型函数中。我很困惑。

Answer 1

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit
xdata2 = np.linspace(1,20,20)
xdata2

ydata2=([16,62,138,  242,  366,  504,  652,  808,  971,1138, 1309, 1483, 1657, 1831, 2005, 2179, 2353, 2527, 2701, 2875])

ydata2

def func2(t,m,k):
    g=32.174
    return m*g*t/k-(m*m/(k*k))*(np.exp(-k*t/m)-1)

plt.plot(xdata2, ydata2, 'b-', label='xdata2')
#plt.show()

#xdata2
#ydata2

popt2, pcov2 = curve_fit(func2, xdata2, ydata2)

plt.plot(xdata2, func2(xdata2, *popt2), 'r-', label='fit')
#plt.show()

#popt3, pcov3 = curve_fit(func2, xdata2, ydata2, bounds=(0, [3., 2.]))

#plt.plot(xdata2, func2(xdata2, *popt3), 'g--', label='fit-with-bounds')


plt.show()

pcov2

popt2

#popt3

Answer 2

您的 s 方程仅通过它们的比率取决于 m 和 k。那是

s(t) = r*g*t-(r*r)*(exp(-t/r)-1)

在哪里

r = m/k

这会给许多求解器带来问题，因为数据无法区分值 m、k 和 10*m、10*k。

你最好单独求解 r。

Answer 3

正如@dmuir 指出的那样，m 和k 是完全相关的。

您可能会发现 python lmfit 模块 (http://lmfit.github.io/lmfit-py/) 对此很有用。这比curve_fit 略高一些，具有更好的参数对象抽象。您的示例如下所示：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from lmfit import Model

secs = np.linspace(1, 20, 20)
ft = np.array([16, 62, 138, 242, 366, 504, 652, 808, 971, 1138, 1309, 1483,
          1657, 1831, 2005, 2179, 2353, 2527, 2701, 2875])

def func(t, m, k, g=32.174):
    mk = m / k
    return mk*g*t + (mk*mk)*(np.exp(-t/mk)-1)

model = Model(func)

# make parameters with initial values for parameters
params = model.make_params(m=-50, g=32.174, k=-1)

# you can now fix parameters or keep them varying in the fit:
params['g'].vary = False
params['m'].vary = False

# or set bounds on parameters (you might want to avoid divide by 0)
params['k'].max=-1.e-8

# now do the fit:
result = model.fit(ft, params, t=secs, nan_policy='omit')

# print results
print(result.fit_report())

# plot results:
plt.plot(secs, ft, '.', label='data' )
plt.plot(secs, result.best_fit, '--', label='fit')
plt.xlabel('secs')
plt.ylabel('ft')
plt.legend()
plt.show()

在我看来，您的拟合度不太好，但这可能有助于您更好地探索数据和模型功能。