Matlab曲线拟合中的初始猜测和重新规范问题

Question

我正在将数据拟合到非线性 ODE 系统，以使用 Matlab lsqcurvefit 估计模型参数。
在这个拟合中，拟合很大程度上取决于我用于 lsqcurvefit 的初始猜测。
例如，如果我使用x0=5 作为初始猜测，我将得到 30 的残差范数，而如果我选择 x0=5.2，我得到的残差范数为 1.5。
1) Matlab 中的残差范数 (resnorm) 代表什么？它是平方误差的总和吗？有没有办法决定resnorm 的值范围是可以接受的。

2) 当拟合很大程度上取决于初始猜测时，有没有办法处理这些问题？我怎么知道是否可以从不同的初始猜测中获得更好的拟合？

3）在使用lsqcurvefit时需要检查残差是否正态分布？

Answer 1

lsqcurvefit 以最小二乘的方式拟合您的数据。因此，这一切都归结为最小化，并且由于您的数据是非线性的，因此您无法保证这是全局最小值，也不能保证它是唯一的。

例如考虑函数 sin(x)，它的 x 值最小化了这个函数，所有的 x=2*pi*n + 3/2*pi for n=0,1,2,... 但是你的数值方法只能返回一种解决方案，这将取决于您最初的猜测。

进一步阐述问题。最简单的（在我看来）最小化算法被称为最速下降。它使用了从微积分中知道的想法，即最陡的下降方向是负梯度。因此，它发现建议点中的梯度在负方向上迈出了一步（按某个步长缩放）并继续这样做，直到步长/导数非常小。

然而，即使你考虑从 0.5 到无穷大的函数 cos(3 pi x)/x，它在 1 中确实有一个唯一的全局最小值，你也只有在你的猜测介于 0.7 和 1.3 之间（或左右）时才能找到它)。所有其他猜测都会找到它们各自的局部最小值。

有了这个，我们可以回答你的问题：

1) resnorm 是残差的 2 范数。可以接受特定规范意味着什么？该算法正在寻找最小值，如果您已经在最小值，继续搜索意味着什么？

2) 不是（伪）精确意义上的。通常所做的是利用您的知识提出一个合理的初步猜测。如果这不可能，您只需反复进行随机初始猜测，然后保持最佳状态。

3）取决于你想做什么，如果你想进行统计测试，这取决于正态分布的残差，那么是的。如果您只对拟合具有最低残差范数的函数感兴趣，那么没有。