Mathematica 内部数字格式和精度

Question

与this 问题相关，数字格式到底发生了什么？

In[1]  := InputForm @ 3.12987*10^-270
Out[1] := 3.12987`*^-270

In[2]  := InputForm @ 3.12987*10^-271
Out[2] := 3.1298700000000003`*^-271

如果您使用 *10.^ 作为乘数，则转换是您天真地期望它的位置：

In[3]  := InputForm @ 3.12987*10.^-16
Out[3] := 3.12987`*^-16

In[4]  := InputForm @ 3.12987*10.^-17
Out[4] := 3.1298700000000004`*^-17

而*^ 使过渡更进一步，尽管机器精度开始下降：

In[5]  := InputForm @ 3.12987*^-308
Out[5] := 3.12987`*^-308

In[6]  := InputForm @ 3.12987*10.^-309
Out[6] := 3.12987`15.954589770191008*^-309

基地在很久以后才开始解体

In[7]  := InputForm @ 3.12987*^-595
Out[7] := 3.12987`15.954589770191005*^-595

In[8]  := InputForm @ 3.12987*^-596
Out[8] := 3.1298699999999999999999999999999999999999`15.954589770191005*^-596

我假设这些转换与 Mathematica 内部保存其数字的格式有关，但有没有人知道或愿意冒险进行有根据的猜测？

Answer 1

如果我理解正确，您想知道 InputForm 何时会显示超过 6 位数字。如果是这样，它会偶然发生，每当需要更多数字来“最佳”表示评估后获得的数字时。由于评估涉及显式乘以 10^（一些幂），并且由于十进制输入不需要（并且在这种情况下不是）精确地用二进制表示，因此您可以得到与您期望的微小差异。

In[26]:= Table[3.12987*10^-j, {j, 10, 25}] // InputForm

Out[26]//InputForm=
{3.12987*^-10,
 3.12987*^-11, 
 3.12987*^-12, 
 3.12987*^-13, 
 3.12987*^-14, 
 3.12987*^-15, 
 3.12987*^-16, 
 3.1298700000000004*^-17, 
 3.1298700000000002*^-18, 
 3.12987*^-19, 
 3.12987*^-20, 
 3.1298699999999995*^-21, 
 3.1298700000000003*^-22, 
 3.1298700000000004*^-23, 
 3.1298700000000002*^-24, 
 3.1298699999999995*^-25}

至于 *^ 输入语法，它实际上是一个解析（实际上是词法）结构。没有计算 10 的明确精确幂。构造一个浮点值，并且在二进制到十进制允许的范围内尽可能忠实于您的输入。 InputForm 将显示与输入数字一样多的数字，因为这确实是与创建的相应二进制值最接近的十进制数。

当您超越机器浮点数的限制时，您将获得任意精度的模拟。它不再是 machinePrecision 而实际上是 $MachinePrecision（这是 Mathematica 中机器浮点数的 bignum 模拟）。

我相信，您在 InputForm 中看到的 3.12987*^-596（以 9 结尾的十进制数）是由 Mathematica 的内部表示引起的，涉及使用保护位。如果只有 53 个尾数位，类似于机器双精度，那么最接近的十进制表示将是预期的六位数字。

丹尼尔·利希特布劳 Wolfram 研究