有没有办法通过重写步骤自动化 Coq 证明？

Question

我正在做一个证明，我的一个子目标看起来有点像这样：

Goal forall
  (a b : bool)
  (p: Prop)
  (H1: p -> a = b)
  (H2: p),
  negb a = negb b.
Proof.
  intros.
  apply H1 in H2. rewrite H2. reflexivity.
Qed.

证明不依赖于任何外部引理，仅包括将上下文中的一个假设应用于另一个假设并使用已知假设重写步骤。

有没有办法让这个自动化？我尝试做intros. auto.，但没有效果。我怀疑这是因为auto 只能执行apply 步骤但不能执行rewrite 步骤，但我不确定。也许我需要一些更强的策略？

我想要自动执行此操作的原因是，在我最初的问题中，我实际上有大量与这个非常相似的子目标，但假设的名称（H1、H2 等）略有不同，假设的数量（有时还有一个或两个额外的归纳假设）和最后的布尔公式。我认为如果我可以使用自动化来解决这个问题，我的整体证明脚本会更加简洁和健壮。

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编辑：如果其中一个假设有一个 forall 怎么办？

Goal forall
  (a b c : bool)
  (p: bool -> Prop)
  (H1: forall x, p x -> a = b)
  (H2: p c),
  negb a = negb b.
Proof.
  intros.
  apply H1 in H2. subst. reflexivity.
Qed

Answer 1

当您在证明某些引理的过程中看到重复模式时，您通常可以定义自己的策略来自动化证明。

在您的具体情况下，您可以编写以下内容：

Ltac rewrite_all' :=
  match goal with
  | H  : _ |- _ => rewrite H; rewrite_all'
  | _ => idtac
 end.

Ltac apply_in_all :=
  match goal with
  | H  : _, H2 : _ |- _ => apply H in H2; apply_in_all
  | _ => idtac
 end.

Ltac my_tac :=
  intros;
  apply_in_all;
  rewrite_all';
  auto.

Goal forall (a b : bool) (p: Prop) (H1: p -> a = b) (H2: p), negb a = negb b.
Proof.
  my_tac.
Qed.

Goal forall (a b c : bool) (p: bool -> Prop)
  (H1: forall x, p x -> a = b)
  (H2: p c),
  negb a = negb b.
Proof.
  my_tac.
Qed.

如果您想遵循这条写证明的道路，通常推荐（但我还没有阅读）的参考文献是 Adam Chlipala 的 CPDT。

Answer 2

这个特定的目标可以这样解决：

Goal forall (a b : bool) (p: Prop) (H1: p -> a = b) (H2: p),
  negb a = negb b.
Proof.
  now intuition; subst.
Qed.

或者，使用destruct_all 策略（前提是您没有很多布尔变量）：

intros; destruct_all bool; intuition.

以上是在destr_bool 策略之后建模的，在Coq.Bool.Bool 中定义：

Ltac destr_bool :=
  intros; destruct_all bool; simpl in *; trivial; try discriminate.  

你也可以尝试使用类似的东西

destr_bool; intuition.

在简单的destr_bool 之后激发强大的intuition。

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now在Coq.Init.Tactics中定义如下

Tactic Notation "now" tactic(t) := t; easy.

easy 定义在它的正上方，（顾名思义）可以解决简单的目标。

intuition 可以解决需要应用（直觉）逻辑法则的目标。例如。以下两个来自问题原始版本的假设需要应用自决方式法则。

H1 : p -> false = true
H2 : p

另一方面，auto 默认不这样做，它也不能解决矛盾。

如果你的假设包括一些一阶逻辑语句，firstorder 策略可能是答案（就像在这种情况下）——只需用它替换 intuition。