罗素悖论[关闭]

Question

令 X 是不包含自身的所有集合的集合。 X 是 X 的成员吗？

Answer 1

在 ZFC 中，基础公理 [如前所述] 或理解公理（方案）将禁止这一点。第一个，原因很明显；第二，因为它基本上说对于给定的 z 和一阶属性 P，你可以构造 { x ∈ z : P(x) }，但是要生成罗素集，您需要 z = V（所有集合的类），它不是集合（即不能从任何给定的公理生成）。

在新基础 (NF) 中，“x ∉ x”不是分层公式，因此我们不能再次定义罗素放。然而，有点有趣的是，V 是 NF 中的一个集合。

在冯诺依曼--伯奈斯--哥德尔集合论（NBG）中，类 R = { x : x 是一个集合，x ∉ x } 是可定义的。然后我们问 R ∈ R;如果是这样，那么还有 R ∉ R，给出一个矛盾。因此我们必须有 R ∉ R。但是这里没有矛盾，因为对于任何给定的类 A，A ∉ R 意味着 A ∈ A 或 A 是一个适当的类。由于 R ∉ R，我们必须简单地认为 R 是一个适当的类。

当然，类R = { x : x ∉ x }，没有限制，在 NBG 中根本无法定义。

另外值得注意的是，上述过程在 NBG 中可以作为证明形式进行构造，而在 ZFC 中则必须求助于元推理。

Answer 2

这个问题在标准 ZFC（Zermelo-Fraenkel + 选择公理）集合论中是不恰当的，因为这样定义的对象不是集合。

因为（再次，假设标准 ZFC）你的 class {x : x\not\in x} 不是一个集合，答案变为否，它不是它自己的元素（即使作为一个class) 因为只有集合可以是类或集合的元素。

顺便说一句，只要您同意axiom of foundation，任何集合都不能成为其自身的元素。

当然，数学的好处是你可以选择任何你想要的公理:) 但是相信悖论是很奇怪的。

Answer 3

我见过的最优雅的证明与罗素悖论非常相似。

定理（我想是康托尔）。 设 X 是一个集合，2^X 是它的子集。然后卡片（X）

证明。当然 card(X)

假设 X 和 2^X 之间存在双射。然后 X 中的每个 xk 都映射到 2^X 中的一个集合 Ak。

• x1 ---> A1
• x2 ---> A2
• ...
• xk ---> Ak
• ...

对于每个 xk，机会是：xk 要么属于 Ak，要么不属于 Ak。令 M 是所有那些不属于它们对应的集合 Ak 的 xk 的集合。 M是X的子集，所以X的元素m一定存在，通过双射映射到M。

m 属于 M 吗？如果是，则不是，因为 M 是那些 不 属于它们所映射到的集合的 x 的集合。如果它不存在，那么它存在，因为 M 包含 所有 个这样的 x。这种矛盾源于存在双射的假设。因此不存在双射，两个基数不同，定理得到证明。