模棱两可的期望值

Question

我在网站上看到了这个问题（我不会使用确切的措辞或提及网站），

假设一个孩子在每个月的 15 号拿到零用钱， 根据那天是哪一天，假设他得到 1 个硬币 周一，周二2个硬币...周日7个硬币。什么是预期 他在随机月份的 15 号会得到多少硬币？

起初我虽然每个的概率都是 1/7 所以答案应该是 4，但它说错了答案。

然后想了更多关于如何选择一个随机月份的问题，并记得日历每 400 年会重复一次，所以认为可能与此有关，所以我编写了以下代码：

int Date(int mn,int yr)
{
    if( ( yr%400==0 || (yr%100!=0 && yr%4==0) ) && mn==2)
        return 29;
    if(mn==2)
        return 28;
    if(mn==4 || mn==6 || mn==9 || mn==11)
        return 30;
    return 31;

}

int main()
{
    double coins=0;
    int wk=0;

    for(int yr=1;yr<=400;yr++)
    {
        for(int mn=1;mn<=12;mn++)
        {
            for(int dt=1;dt<=Date(mn,yr);dt++)
            {
                if(dt==15)
                    coins += wk%7 +1;
                wk++;
            }
        }
    }

    cout<<setprecision(10)<<coins/12/400;
}

输出 -

4.001666667

还有宾果游戏！正确答案！ 但是再想一想，我意识到我选择星期一作为开始日，但不能是任何一天吗？ 所以我在程序上做了这个小改动——

int main()
{
    double total=0;

    for(int i=0;i<7;i++)
    {
        int wk=i;
        double coins=0;
        for(int yr=1;yr<=400;yr++)
        {
            for(int mn=1;mn<=12;mn++)
            {
                for(int dt=1;dt<=Date(mn,yr);dt++)
                {
                    if(dt==15)
                        coins += wk%7 +1;
                    wk++;
                }
            }
        }
        cout<<setprecision(10)<<coins/12/400<<endl;
        total += coins;
    }

    cout<<endl<<setprecision(10)<<total/7/12/400;
}

输出-

4.001666667
3.998333333
4.000833333
3.998958333
4
4.001041667
3.999166667

4

Soooo...现在我真的很困惑...我们应该接受 4.00666，因为它是 0001 年 1 月 1 日星期一，或者问题可能有任何答案，或者我在这里遗漏了一些非常重要的东西？

这个问题的正确答案应该是什么？
如果不存在“正确”答案，那么您认为最合适的答案应该是什么？

Answer 1

您已经完成了所有必要的思考工作等等；但你过于笼统了。

我意识到我选择星期一作为开始日，但不能是任何一天吗？

不，如果问题是在这个宇宙中设置的，则不会。

我们应该把它取为 4.00666，因为它是 0001 年 1 月 1 日星期一

'1st Jan 1' 并不是一个明确的年份，因为当时既没有公历，也没有儒略历。

或者这个问题可以有任何答案，还是我在这里遗漏了一些非常重要的东西？

这个问题的正确答案应该是什么？

这个问题只有一个正确答案，4.001666，因为工作日与这个宇宙中的年份是如何对齐的。 1900 年 1 月 1 日（我们可以在任何我们喜欢的地方开始一个 400 年的周期，只要它是在采用公历之后）是星期一，所以更新你的代码 first main from

for(int yr=1;yr<=400;yr++)

到

for(int yr=1900; yr < 1900+400; yr++)

您将立即得到正确答案。

---

正如已经确定的那样，工作日与年份对齐的特殊方式是导致此处“潜在”答案差异的原因。为什么the 13th of the month is more likely to fall on a Friday than on any other day of the week的背后也是同样的事情。

Answer 2

Soooo...现在我真的很困惑...我们应该接受它 4.00666，因为它是 0001 年 1 月 1 日星期一

是的，当然我们当前的日历系统当时还没有使用。如果您选择另一个开始日期，您将针对我们实际使用的其他日历系统进行计算。

请注意，1 月 1 日、1 月 1 日 401 日、1 月 1 日 801 日、1201 年 1 月 1 日等都是一周中的同一天（同样在我们当前的日历系统中）。您不必特别选择第 1 年，但您必须选择您选择的任何 400 年期间的开始。

Answer 3

您的扩展结果只能用 400 年期间的几个月中没有平均分布的弱日来解释。

这与以下事实有关：工作日以 7 为基础的周期重复，而闰年以 4 为基础的周期重复（有扩展），并且月份也不相同，因此尽管日历在 400 天后重复，很可能对您选择的开始日期有一定的依赖性（显然是）。

不过，我们可以更轻松地做到这一点：您有 400 年，每 12 个月，即。 e. 3600个月。 3600 不能被 7 整除，因此工作日不能平均分布在几个月内，所以您必须根据所选的开始日期有所不同... p>

现在有问题的是最外层 for 循环中的这两行：

int wk=i;
for(int yr=1;yr<=400;yr++)

对于某些特定年，您将开始日期设置为 [0..6] 之外的任意值。然而，这 7 个值中只有一个实际上与所选年份匹配，其他 6 个值定义了一些幻想日历（您的出生日期是固定的，找出它是什么 - 然后想象您将其更改为周...）。

旁注：实际上，您从引入公历日历（计算依据）开始向后使用，这样做，您还必须计算第 1 年的正确开始日期。碰巧它也一定（实际上）是星期一，所以你很幸运地得到了正确的结果......