c++中扩展欧几里得算法的递归到底发生了什么？

Question

我知道什么是扩展欧几里得算法以及为什么要在编程中使用它。它是一种非常有用的算法，用于求数的反模。我知道如何在 c++ 中实现它，这就是我在下面用 c++ 实现它的方式。

typedef pair<int, int> pii;

#define x first
#define y second

pii extendedEuclidean(int a, int b)
{
    if(b==0)
        return {a,0};
    else {
        pii d = extendedEuclidean(b, a%b);
        return {d.y, d.x - (d.y*(a/b))};
    }
}

现在，如果我想找到一个数字的反模，例如 13，其中 mod 是例如 1000007，那么我只需调用这个函数

pair<int, int> res = extendedEuclidean(13, 1000007);

那么结果就是

res.first

我的问题是为什么以及在这个递归中究竟发生了什么？以及为什么它会产生正确的结果。

注意：这里 gcd(a, b) 必须为 1。

Answer 1

欧几里得算法计算一对数字(a, b)的最大公约数（假设a>b）。它使用a 和b 的任何公约数也是a-b 的除数的观察。原因如下：

让d 成为除数。然后，a 可以表示为a=d*k 用于整数k 和b=d*l 用于整数l。然后，a-b=d*k-d*l=d*(k-l)。 k-l 又是一个整数。因此，d 必须是a-b 的除数。

算法的作用是尽可能频繁地从较大的数字中减去较小的数字。这是a%b 的部分。例如。如果a = 25 和b = 7，a%b=4 就是从a 中减去b 3 次后得到的结果。之后，新的a 将小于b。因此，您交换两个数字。这是您调用递归的部分：extendedEuclidean(b, a%b);

扩展的欧几里得算法做得更多。此外，它还计算两个数字x 和y，例如gcd(a, b) = x * a + y * b。这是如何完成的：

在最后一次迭代中，您最终得到a'=gcd 和b'=0。因此，您有gcd=a' * 1 + b' * 0，其中1 和0 分别是x' 和y'。假设上一次迭代中的值为a'' 和b''。然后我们知道a'=b'' 和b'=a'' % b''。有了这个，我们发现b'=a''-(a''/b'')*b''（尽可能经常减去）。我们可以修改

gcd = a' * x' + b' * y'
gcd = b'' * x' + (a''-(a''/b'')*b'') * y'
    = a'' * y' + b'' * (x' - y' * (a''/b''))

因此，新的x''=y' 和y''=x' - y' * (a''/b'')。这是您的退货声明return {d.y, d.x - (d.y*(a/b))};。

一个例子：

让a=25, b=7。第一遍计算a 和b 列（从上到下）。这说明了递归调用。第二遍计算x 和y 列（从下到上）。这说明了返回语句：

 a  | b            |  x   | y                     | means
----+--------------+------------------------------+---------------------
 25 |  7           |  2   | -1 - 2 * (25/7) = -7  | 1 = 2 * 25 - 7 * 7 
  7 |  25 % 7 = 4  | -1   |  1 + 1 * (7/4)  =  2  | 1 = (-1) * 7 + 2 * 4
  4 |  7 % 4  = 3  |  1   |  0 - 1 * (4/3)  = -1  | 1 = 1 * 3 - 1 * 3
  3 |  4 % 3  = 1  |  0   |  1 - 0 * (3/1)  =  1  | 1 = 0 * 3 + 1 * 1
  1 |  3 % 1  = 0  |  1   |  0                    | 1 = 1 * 1 + 0 * 0

所以你得到1 = 2 * 25 - 7 * 7，其中2 是结果的.first，-7 是结果的.second。如果我们在mod 25，这简化为：

1 == 2 * 0 - 7 * 7
1 == -7 * 7

因此，-7 == 18（即result.second）是7 (mod 25) 的乘法逆元。请注意，我交换了输入以避免不必要的第一次迭代。否则为result.first。