在矩阵中找到三个总和最大的单元格答案

【问题标题】：Finding three cells in a matrix with maximum total sum在矩阵中找到三个总和最大的单元格
【发布时间】：2018-05-29 20:35:01
【问题描述】：

对于以下问题，我有一个贪婪的解决方案。我想知道如何证明？

问题如下：给定一个 n x n 非负整数的 2D 矩阵，找到三个单元格，使得这些单元格和相邻单元格的总和为越多越好。如果两个被选中的单元格有共同的相邻单元格，则相邻单元格只参与一次求和，如果两个单元格共享一条公共边，则认为两个单元格相邻。

天真的蛮力解决方案在 O(n⁶) 中运行。我编写了一个贪婪的解决方案，它在 O(n⁴) 中运行。贪心解决方案使用了这样一种思想，即自身及其相邻单元格总和最大的单元格始终是答案的一部分。我已经在几个测试用例上测试了这两种解决方案，结果是相同的。

在贪心算法中，首先我选择自身和相邻单元格总和最大的单元格，然后遍历所有可能的单元格对。

现在我的问题是，为什么这种贪婪策略有效？我要证据。谢谢！

【问题讨论】：

听起来你可以进一步抽象矩阵，第二个矩阵大小相同，其中单元格的值等于所有相邻单元格的总和。然后从那里，您可以找到彼此不相邻的 3 个最大的销售，不是吗？
@Fallenreaper 否。有时我们应该选择相邻的单元格。我想我把问题解释得不好。我必须将语句“每个单元格只能参与一次总和”编辑为“如果两个选定的单元格具有共同的相邻单元格，则相邻单元格只能参与一次总和”。
这更有意义。那么问题就变成了：你应该自己建立一个模型。我们可以想出答案，但我们不想在不经意间为你做功课。
@Fallenreaper 这不是家庭作业。

【解决方案1】：

它不起作用。对不起，

20  1 40  1 40  1 20
20  2 40  3 40  2 20
20  1 40  1 40  1 20
 1  1 20 20 20  1  1
 1  1 20  2 20  1  1
 1  1 20 20 20  1  1

3 自身和所有相邻单元格的总和最高。然而，选择价值2 的 3 个单元格实际上是最好的。

编辑

显然，您所说的“相邻”是指与我不同的东西。所以试试这个例子：

 1  1  1  1  1  1  1
20  2 40  3 40  2 20
 1  1  1 20  1  1  1
 1  1 20  2 20  1  1
 1  1  1 20  1  1  1
 1  1  1  1  1  1  1

【讨论】：