如何有效地获得给定范围内的除数之和？

Question

我正在尝试在给定范围 a、b a c 的所有除数的总和。

我尝试从a 循环到b 并将c 的所有除数相加，但这似乎效率低下，因为a 和b 之间的绝对差可以是10^9。 有没有办法降低这种方法的时间复杂度？

int a, b, c;
cin >> a >> b >> c;
long long sum = 0;
for (int i = a; i <= b; i++) {
    if (i % c == 0) {
       ans += i;
    }
}
cout << sum << endl;

Answer 1

注意：这个问题不清楚我们是需要对除数求和（在描述中）还是整除整数（在代码示例中）。答案总结了可分割的项目。

这很简单。

• 找到from，即满足from % c == 0 && from >= a 的最小值
• 找到to，最大的值使得to % c == 0 && to <= b

.

 int n = (to - from) / c + 1;
 return n * (to + from) / 2;

返回to - from + c。当to 可能溢出您的类型而from 可能下溢时，请注意边界条件。

要找到from，请执行以下操作：

if (c < 0) c *= -1;  // works unless c == MIN_INT
if (a % c == 0)
   from = a;
else if (a >= 0)
   from = (a / c * c) + c
else 
   from = a / c * c;

to 类似，但考虑到我们需要向下取整，而不是向上取整。

另外，a > b的情况需要单独处理。

编辑

这是没有循环、递归或容器的完整代码。它在 O(1) 中运行：

int a, b, c;
std::cin >> a >> b >> c;
if (!std::cin) {
   std::cout << "input error\n";
   return 0;
}

if (c < 0) c*= -1;
const int from = [a,c] {

   // no rounding needed
   if (a % c == 0) return a;

   // division rounds down to zero
   if (a > 0) return (1 + a / c) * c;

   // division rounds up to zero
   return a / c * c;
}();

const int to = [b,c] {

   // no rounding needed
   if (b % c == 0) return b;

   // division rounds down to zero
   if (b > 0) return (b / c) * c;

   // division rounds up to zero
   return (b / c - 1) * c;
}();

int64_t sum = 0;
if (from <= to)
{
 const int n = (to - from) / c + 1;
 sum = n * (to + from) / 2;
}
std::cout << sum << '\n';

Answer 2

首先找出所有作为 c 的除数的素数。这将为您留下一个数字列表 [w,x,y,z...]。然后在这个列表中保留一个包含所有整数倍数的哈希表集合，这些整数也是除数。

int a, b, c;
cin >> a >> b >> c;
long long sum = 0;

std::vector<int> all_prime_factors = // Get all prime factors of c
std::unordered_set<int> factorSet;
for (int primefactor : all_prime_factors)
{
    int factor = primefactor;
    while (factor <= b)
    {
        if (factor % c == 0)
            factorSet.insert(factor);
        factor += primefactor;
    }
}

for (int x : factorSet)
{
    sum += x;
}

cout << sum << endl;