我正在尝试编写一种算法，该算法可以在 O(n) 时间内打印 n 大小数组中的 k 个最小数字，但我无法将时间复杂度降低到 n。我该怎么做？
【问题讨论】：
标签： arrays algorithm selection
我之前在一次采访中做过这个，最优雅/最有效的方法之一是
O(n log k).
with space: O(k) (thanks, @Nzbuu)
基本上，您将使用大小限制为 k 的最大堆。对于数组中的每个项目，检查它是否小于最大值（仅 O(1)）。如果是，则删除最大值并将其放入堆中（O（log k））。如果它更大，请转到下一项。
当然，堆不会产生 k 个项目的排序列表，但这可以在 O(k log k) 中完成，这很容易。
同样，你可以用同样的方法找到最大的 k 个项目，在这种情况下你会使用最小堆。
【讨论】：
O(n) 时间和O(1) 空间。即使你想报告排序的项目，你也可以在O(n + k log(k))time/O(1)space 中进行。
您需要使用“选择算法”找到第 k 个最小的元素，即 O(n)，然后再次迭代数组并返回每个更小/等于它的元素。
选择算法：http://en.wikipedia.org/wiki/Selection_algorithm
如果您有重复，则必须注意：您需要确保返回的元素不超过 k 个（例如，如果您有 1,2,...,k,k,k ,...)
编辑：
完整的算法，并根据要求返回一个列表：设数组为A
1. find the k'th element in A using 'selection algorithm', let it be 'z'
2. initialize an empty list 'L'
3. initialize counter<-0
4. for each element in A:
4.1. if element < z:
4.1.1. counter<-counter + 1 ; L.add(element)
5. for each element in A:
5.1. if element == z AND count < k:
5.1.1. counter<-counter + 1 ; L.add(element)
6. return L
请注意，如果您的列表可能有重复项，则需要进行第 3 次迭代。如果不能 - 没必要，只需将 4.1 中的条件更改为 另请注意：L.add 将元素插入到链表中，因此是 O(1)。
【讨论】：
假设您要显示 K 个最小的数字，您可以使用 Hoare 的 Select 算法来找到第 kth 个最小的数字。这会将数组划分为较小的数字、第 kth 数字和较大的数字。
【讨论】：
可以在O(n) 时间内找到 n 个元素中最小的 k 个（我的意思是真正的O(n) 时间，而不是O(n + some function of k)）。请参阅the Wikipedia article "Selection algorithm"，尤其是关于“无序部分排序”和“中值选择作为枢轴策略”的小节，以及构成此O(n) 的基本部分的the article "Median of medians"。
【讨论】：
这可以在预期的线性时间 (O(n)) 内完成。首先找到数组的kth 最小元素（使用枢轴分区方法查找kth 顺序统计），然后简单地遍历循环以检查哪些元素小于kth 最小元素。请注意，这仅适用于不同的元素。
这是c中的代码：
/*find the k smallest elements of an array in O(n) time. Using the Kth order
statistic-random pivoting algorithm to find the kth smallest element and then looping
through the array to find the elements smaller than kth smallest element.Assuming
distinct elements*/
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <time.h>
#define SIZE 10
#define swap(X,Y) {int temp=X; X=Y; Y=temp;}
int partition(int array[], int start, int end)
{
if(start==end)
return start;
if(start>end)
return -1;
int pos=end+1,j;
for(j=start+1;j<=end;j++)
{
if(array[j]<=array[start] && pos!=end+1)
{
swap(array[j],array[pos]);
pos++;
}
else if(pos==end+1 && array[j]>array[start])
pos=j;
}
pos--;
swap(array[start], array[pos]);
return pos;
}
int order_statistic(int array[], int start, int end, int k)
{
if(start>end || (end-start+1)<k)
return -1; //return -1
int pivot=rand()%(end-start+1)+start, position, p;
swap(array[pivot], array[start]);
position=partition(array, start, end);
p=position;
position=position-start+1; //size of left partition
if(k==position)
return array[p];
else if(k<position)
return order_statistic(array, start,p-1,k);
else
return order_statistic(array,p+1,end,k-position);
}
void main()
{
srand((unsigned int)time(NULL));
int i, array[SIZE],k;
printf("Printing the array...\n");
for(i=0;i<SIZE;i++)
array[i]=abs(rand()%100), printf("%d ",array[i]);
printf("\n\nk=");
scanf("%d",&k);
int k_small=order_statistic(array,0,SIZE-1,k);
printf("\n\n");
if(k_small==-1)
{
printf("Not possible\n");
return ;
}
printf("\nk smallest elements...\n");
for(i=0;i<SIZE;i++)
{
if(array[i]<=k_small)
printf("%d ",array[i]);
}
}
【讨论】：
该问题的最佳解决方案如下。使用快速排序找到枢轴并丢弃第k个元素不存在的部分，并递归查找下一个枢轴。 （这是第 k 个 Max finder，您需要更改 if else 条件以使其成为第 k 个 Min Finder）。这是 JavaScript 代码-
// Complexity is O(n log(n))
var source = [9, 2, 7, 11, 1, 3, 14, 22];
var kthMax = function(minInd, MaxInd, kth) {
// pivotInd stores the pivot position
// for current iteration
var temp, pivotInd = minInd;
if (minInd >= MaxInd) {
return source[pivotInd];
}
for (var i = minInd; i < MaxInd; i++) {
//If an element is greater than chosen pivot (i.e. last element)
//Swap it with pivotPointer element. then increase ponter
if (source[i] > source[MaxInd]) {
temp = source[i];
source[i] = source[pivotInd];
source[pivotInd] = temp;
pivotInd++;
}
}
// we have found position for pivot elem.
// swap it to that position place .
temp = source[pivotInd];
source[pivotInd] = source[MaxInd];
source[MaxInd] = temp;
// Only try to sort the part in which kth index lies.
if (kth > pivotInd) {
return kthMax(pivotInd + 1, MaxInd, kth);
} else if (kth < pivotInd) {
return kthMax(minInd, pivotInd - 1, kth);
} else {
return source[pivotInd];
}
}
// last argument is kth-1 , so if give 2 it will give you,
// 3rd max which is 11
console.log(kthMax(0, source.length - 1, 2));
【讨论】：
另一种技术 - 使用 QuickSelect 算法，结果将是返回结果左侧的所有元素。平均时间复杂度为 O(n)，在最坏的情况下为 O(n^2)。空间复杂度为 O(1)。
【讨论】：
我不完全知道您在寻找什么，但非常简单的 O(n * k) 时间和 O(k) 空间。这是最大的 K，所以需要翻转它。
对于 k （结果）的 min 的蛮力可以替代一个堆
private int[] FindKBiggestNumbersM(int[] testArray, int k)
{
int[] result = new int[k];
int indexMin = 0;
result[indexMin] = testArray[0];
int min = result[indexMin];
for (int i = 1; i < testArray.Length; i++)
{
if(i < k)
{
result[i] = testArray[i];
if (result[i] < min)
{
min = result[i];
indexMin = i;
}
}
else if (testArray[i] > min)
{
result[indexMin] = testArray[i];
min = result[indexMin];
for (int r = 0; r < k; r++)
{
if (result[r] < min)
{
min = result[r];
indexMin = r;
}
}
}
}
return result;
}
【讨论】：
我相信这可以使用 O(n) 空间在 O(n) 时间内完成。如前所述，您可以使用 Hoares 算法或快速选择的变体。
基本上你在数组上运行快速排序，但只在分区的一侧运行，以确保有 K 或 K-1 个大于枢轴的元素（你可以包括 lr 排除枢轴）。如果不需要对列表进行排序，那么，您可以从枢轴打印数组的剩余部分。由于可以就地进行快速排序，因此这需要 O(n) 空间，并且由于您将每次检查的数组部分（平均）减半，因此需要 O(2n) == O(n) 时间
【讨论】：
只需使用 Merge Sort 对数组进行排序，然后打印第一个 k 数，最坏情况下需要 n*log2(n)。
【讨论】：
如何使用堆来存储值。当您遍历数组中的每个值时，此成本为 n。
然后通过Heap得到最小的k值。
运行时间为 O(n) + O(k) = O(n)
当然，内存空间现在是O(n + n)
【讨论】：
如前所述，有两种方法可以完成这样的任务：
1) 您可以使用quicksort、heapsort 或任何您想要的O (n log n) 排序算法对整个n 元素数组进行排序，然后选择数组中的m 最小值。此方法适用于O(n log n)。
2) 您可以使用selection algorithm 来查找m 数组中的最小元素。找到第 kth 个最小值需要 O(n) 时间，因为您将迭代此算法 m 次，所以总时间将是 m x O(n) = O(n)。
【讨论】：
这是递归的基本条件的一个细微变化，在选择算法中，返回指向包含所有前 k 个随机顺序最小元素的动态数组的指针，它是 O(n)。
void swap(int *a, int *b){
int temp = *a;
*a = *b;
*b = temp;
}
int partition(int *A, int left, int right){
int pivot = A[right], i = left, x;
for (x = left; x < right; x++){
if (A[x] < pivot){
swap(&A[i], &A[x]);
i++;
}
}
swap(&A[i], &A[right]);
return i;
}
int* quickselect(int *A, int left, int right, int k){
//p is position of pivot in the partitioned array
int p = partition(A, left, right);
//k equals pivot got lucky
if (p == k-1){
int*temp = malloc((k)*sizeof(int));
for(int i=left;i<=k-1;++i){
temp[i]=A[i];
}
return temp;
}
//k less than pivot
else if (k - 1 < p){
return quickselect(A, left, p - 1, k);
}
//k greater than pivot
else{
return quickselect(A, p + 1, right, k);
}
}
【讨论】：