硬币兑换算法中的递归是如何展开的？

Question

我知道有大量的社论和博客对此进行了解释，但有一个共同点让我陷入困境。

考虑下面给出的递归：

coin_change(coins,i,N) = coin_change(coins,i-1,N) + coin_change(coins,i-1,N-val[i])

现在这看起来很简单，我认为要么我们排除代币，要么将其包括在内并解决剩余金额的问题。

但我的疑问是，由于硬币的供应是无限的，我们可以尽可能多地取硬币来求和，那么我们如何将这个东西纳入递归解决方案？

我也无法理解这个问题的基本情况！

Answer 1

这将创建一棵二叉树，其中右分支一次又一次地搜索减去同一个硬币，而左分支搜索所有其他硬币。

以 N = 3 和硬币 = {1, 2} 为例：
右手边的分支是：

{1,2}: 1->1->1  (1,1,1)
  {2}:  ->2     (1,2)

左边的分支是：

{2}:    2->X    (No solution)

如果 2 是第一枚硬币，将给出相同的结果：
右手分支：

{2,1}: 2->X     (No solution)
  {1}   ->1     (2,1)

左手分支：

{1}:   1->1->1  (1,1,1)

注意 1：您不应该在第二次通话中使用 -1：

coin_change(coins,i,N) = coin_change(coins,i-1,N) + coin_change(coins,i,N-val[i])

注意 2：这不是动态编程。

Answer 2

如果有无限的硬币供应，那么给定条件允许排除整个名义硬币。例如，溶液中不再有镍。 val 数组可能看起来像 [1,5,10,25...]

请注意，硬币数量有限的问题稍微复杂一些 - 我们必须组织具有重复值 [1,1,1,5,5,10,10,10,10,10,...] 的数组，或者为每个名义上的硬币 [1:3; 5:0; 10:12; ...] 使用计数器数组。