如何找到解决所有 N 个问题所需的最短时间？答案

【问题标题】：How to find the minimum time required to solve all N problems?如何找到解决所有 N 个问题所需的最短时间？
【发布时间】：2015-05-22 17:33:13
【问题描述】：

我试图解决这个问题，但即使过了几个小时我也无法解决完全理解问题。我什至无法上来使用任何蛮力技术。这就是问题：

有 N 个成员和 N 个问题，每个成员必须准确解决 1 个问题。团队中只允许一名成员阅读在任何人开始解决之前的问题陈述。

请注意，并不是每个人一开始都阅读过这些问题。所以，要解决成员需要知道某个队友的陈述的问题已经认识他们了。知道问题一次后，会员才有资格向其他队友解释（一次一位队友）。你可以假设解释（1或N个问题）总是需要D 分钟。在解释过程中，两名涉事成员都不会可以做任何其他事情。

问题具有不同的难度级别。你可以假设它将花费 Ti 分钟来解决第 i 个问题，无论哪个会员解决了。

给定一个团队的数据，他们最少可能需要多少时间能解决所有问题吗？

输入

N  D
2 100

T=[1 2]

Output

102

允许成员 1 在开始时间之前知道问题。他开始比赛开始时向成员 2 解释问题。解释结束于第 100 分钟。然后他们俩立即开始解决并行的问题。成员 1 在第 101 分钟解决了第一个问题成员 2 在第 102 分钟解决了第 2 个问题。

解码这类问题并解决它的最佳方法是什么？

【问题讨论】：

N 可以有多大？我们可以选择谁在开始时间之前了解所有问题，还是总是成员 1？
@IVlad N≤3×10^3 。是的，我们可以选择任何成员..不一定是 1..
问题陈述没有多大意义。鉴于您陈述的条件，解决所有问题总是需要D + N 分钟。现在，如果成员可以在向他解释问题后立即开始解决问题（即他不必等待所有问题都得到解释），那么您就有了要解决的问题。
@JimMischel 但是一个成员只能解决一个问题，一旦他解决了问题，他就必须坐 Idle 。所以我们需要确保在最短的时间内解决所有问题。

标签： algorithm dynamic-programming

【解决方案1】：

这让我想起了Huffman coding。

我不确定以下方法是否最佳，但在实践中它可能会给出一个很好的答案。

选择最简单的两个问题 T0 和 T1，并将它们替换为由时间 D+max(T0,T1) 组成的单个问题。
重复直到剩下一个问题

如果将问题存储在二进制堆中，则可以在 O(logN) 中找到两个最简单的问题，因此总体而言这是 O(NlogN)。

示例

假设我们有 1,3,4,6 和 D=2。

我们首先将 1 和 3 组合成 2+max(1,3)=5。新列表是 4,5,6

然后我们将 4 和 5 结合起来，使 2+max(4,5)=7。新列表是 6,7。

然后我们将 6 和 7 组合成 2+max(6,7)=9。

这表示以下过程。

t=0 A shares with B
t=2 A starts problem 6, B shares with C
t=4 B starts problem 4, C shares with D
t=6 C starts problem 3, D starts problem 1
t=7 D finishes
t=8 A finishes, B finishes
t=9 C finishes

【讨论】：

其实我到现在也没找到反例，你有吗？如果事实证明这是最优的，那就太好了。
我没有反例，我只是没有勇气尝试证明......
那么我们是否需要对时间进行排序并使用贪心策略求解，即先求解最高执行时间，然后再求解第二高，等等？？
不完全是，它更像是一种贪心策略，最后解决两个最短的任务（其中一个任务要么是原始问题之一，要么是已经合并的问题的组合）
@PeterdeRivaz 为什么我们不能对时间 T 进行排序以获得两个最简单的问题。这需要 O(n^2lohn) 时间，因为我们必须在每次合并两个最简单的问题后进行排序。

【解决方案2】：

团队的每个成员（阅读问题的人除外）必须听到问题。也就是说，问题必须被告知N - 1 次。对于N = 2，这可以在D 分钟内完成，对于2 < N <= 4 在2D 分钟，对于4 < N <= 8 在3D 分钟等。

如果N 不是 2 的精确幂，那么有些人必须说完问题至少比其他人早D 分钟。提早完成的人可以继续工作最难的问题，把更容易的问题留给后来完成的问题。

如果某些问题需要时间Ti > D 和N 都不是精确的 2 的幂，也不小于 2 的精确幂，您可能想要有人比D 分钟前停止告诉问题更多最后的问题讲完了。

如果有些问题需要时间Ti > 2D那么你可能需要考虑让一些人停止讲述问题并开始研究真正的问题即使N 是 2 的精确幂，也能尽快解决难题。

由于解决一个问题是每个成员的关键路径，但讲述在多个成员的关键路径中，任何人在完成之前解决问题都是没有意义的他们将要解决的所有问题。每D分钟后知道问题的人数讲问题的人数增加。讲问题的人数增加了讲问题的人数正在讲述问题（即，刚刚学会了问题）减去当时开始解决问题的人数。

一个好的“蛮力”方法可能是对问题进行排序按难度；然后找出最后一个人听到的时间如果在此之前没有人开始处理这些问题；找出最后一个人何时结束；然后尝试提前D 分钟或2D 分钟开始问题，或3D 分钟等，但永远不要启动较短的运行在一个运行时间较长的问题之前出现问题。

【讨论】：

“团队的每个成员......必须听到问题”---不。第一个成员实际解决所有问题而不是描述可能会更快。
@Petr - 不，问题陈述说每个成员必须解决一个问题。
哦，抱歉，没注意到这个
Peter de Rivaz 的解决方案在大多数情况下看起来像是一个很好的启发式方法，我试图找到一个反例但没有成功。我的猜测是这将是最好的答案。

【解决方案3】：

问题陈述对解释部分有些模棱两可。根据语句的解释方式，可能有以下解决方案：

如果你假设你可以在 D 分钟内解释 N 个问题，那么解释一个问题需要 N/D 分钟。让我们称之为Te，表示“解释时间”。而解决问题i 的时间是Ti，我们知道它等于i 分钟。

所以在比赛开始时，成员 1（知道所有问题）向成员 2 解释问题 N。这需要 Te 分钟。然后成员 2 开始处理问题 N（需要 N 分钟解决），成员 1 开始向成员 3 解释问题 N-1。这种情况一直持续到成员 1 向成员 N 解释问题 2。此时，成员 N 开始处理问题 2，成员 1 开始处理问题 1。

假设有 4 个问题、4 个团队成员和D=8。所以Te=2。

Time    Description
 0      Member 1 begins explaining Problem 4 to Member 2
 2      Member 2 begins working on Problem 4
        Member 1 begins explaining Problem 3 to Member 3
 4      Member 3 begins working on Problem 3
        Member 1 begins explaining Problem 2 to Member 4
 6      Member 2 completes problem 4
        Member 4 begins working on Problem 2
        Member 1 begins working on Problem 1
 7      Member 3 completes Problem 3
        Member 1 completes Problem 1
 8      Member 4 completes Problem 2

无论D 或N 的值如何，这似乎都是最佳解决方案：安排它以使解决时间最长的问题尽早开始。

我怀疑问题陈述是用其他语言给出的问题的英文翻译，或者可能是对最初用英语编写并翻译成其他语言的内容的重新翻译。因为如果那是最初的问题陈述，那么写它的人应该被禁止再写问题。

【讨论】：

【解决方案4】：

完成任何一项任务所需的时间长度似乎是C * D + T, where C is a positive integer less than N 的形式，并且必须考虑所有N-1 的提前期。假设我们犯了一个错误，而最佳解决方案实际上应该有一个任务加上更长的交货时间——所以有些C * D + Tj < C * D + Ti, where Ti < Tj，这是不可能的。

因此，对对的总和进行一次迭代（假设输入已排序）：

solution = maximum (T2 + (n-1) * D, T3 + (n-2) * D...D + Tn)

【讨论】：