C++中的随机生成算法

Question

假设您需要生成前 N 个整数的随机排列。例如，{4, 3, 1, 5, 2} 和​​ {3, 1, 4, 2, 5} 是合法排列，但 {5, 4, 1, 2, 1} 不是，因为一个数 (1 ) 重复，而另一个 (3) 丢失。该例程通常用于算法的模拟。我们假设存在一个随机数生成器 RandInt(i,j)，它以相等的概率在 i 和 j 之间生成。这是算法：

将数组 A 从 A[0] 填充到 A[N-1]，如下所示：要填充 A[i]，生成随机数，直到得到一个不在 A[0]、A[1] 中的随机数,…, A[i-1].

用 C++ 实现这个算法并找出复杂度。这是我的代码：

int a;
bool b = false;
A[0] = RandInt(1,n);
for (int i=1;i<n;i++) {
do {
  b = false;
  a = RandInt(1,n);
  for (int j=0;j<i;j++)
     if(A[j] == a)
        b = true;
} while(b);
A[i] = a;
}

这段代码正确吗？我怎样才能找到算法的复杂性？由于 RandInt(i,j) 生成随机数，我不知道 do while 循环将重复多少次。

Answer 1

该算法将产生正确的结果，从所有可能的排列中随机均匀地选择一个排列。

运行时间不受任何确定性函数的限制，因为正如您所指出的，它实际上可以永远运行。在最好的情况下，该算法在 O(n^2) 中运行并选择随机排列，而无需重复任何选择。平均而言，您预计必须尝试 n/n=1 次才能获得第一个唯一随机数，n/(n-1) 次才能获得第二个随机数，依此类推，直到期望值 n/1= n次得到最后一个。将它们加在一起得到 n*H(n)，其中 H(n) 是第 n 次谐波数。原来 H(N) 是 Theta(log n) 所以这个算法在平均情况下是 O(n^2 log n)。

有一种更好的方法来做你想做的事情：你可以从任何排列开始，然后使用在最坏情况下为 O(n) 的算法将它洗牌到另一个排列中。该算法是Fisher-Yates算法，工作原理如下：

FisherYates(array[1...n])
1. if n == 1 then return
2. r = random(2, n)
3. temp = array[1]
4. array[1] = array[r]
5. array[r] = temp
6. FisherYates(array[2...n])

这是一种递归公式，但迭代公式很简单。它准确地调用了random n 次，其中n 是最顶层调用时数组的大小。