通过弯曲到方向来变换线段

【问题标题】：Transforming a segment by bending to direction通过弯曲到方向来变换线段
【发布时间】：2016-11-11 21:58:41
【问题描述】：

我不确定如何处理这个问题：我需要相对于单位方向“弯曲”长度为 1 的段。弯曲的强度是段长度的 1/y。需要为段上的每个点定义变换，并且应该保留长度。我想到了以下几点：

【问题讨论】：

【解决方案1】：

我假设您想要弯曲线段，使其具有恒定的曲率 k，也就是说，它将成为半径为 1/k 的圆的长度为 1 的弧。那么segment的点(0, t)映射到该点：

(1 - cos(kt))/k    ,    sin(kt)/k

对于较小的 k 值（即曲率很小且线段几乎是直的），为防止意外被零除，您可以通过以下公式对其进行映射（这是上述 k 附近的泰勒展开式=0):

  k t^2 / 2       ,      t - k^2 t^3 / 6

编辑：根据您的评论：

假设您的方向向量是 (x,y)，那么在弧 (t=1) 的末端给出切线向量的相应曲率值由下式给出：

k = atan2(x, y)

【讨论】：