犰狳的求解（A，b）从 Matlab，Eigen 返回不同的答案

Question

我正在使用带有 Visual Studio 2013 的 Armadillo 5.200 来求解线性方程组 xA=b。我的代码通过求解 x=(A'\b')' 来计算这个，我正在使用 Armadillo 的 solve() 函数来求解线性方程组。

我的问题是返回给我的解决方案不正确 - 它与相同问题的 Eigen 和 Matlab 解决方案不同，它们匹配。我不只是首先使用 Eigen 的原因是它执行得太慢（我必须进行数百万次计算），我想看看使用 Armadillo 是否能加快它的速度。我现在也很好奇为什么会发生这个错误。

这是一个说明问题的示例代码：

#include "stdafx.h"
#include <iostream>
#include <armadillo>
#include <Eigen/Dense>


// Matrix operation to find world coordinates.  
arma::mat mrdivide(arma::mat A, arma::mat B){
    arma::mat A_t = A.t();
    arma::mat B_t = B.t();  
    return solve(A_t, B_t).t();

}
Eigen::MatrixXd mrdivide(Eigen::MatrixXd A, Eigen::MatrixXd B){
    Eigen::MatrixXd A_t = A.transpose();
    Eigen::MatrixXd B_t = B.transpose();    
    return ((A_t).colPivHouseholderQr().solve(B_t)).transpose();

}
int main(int argc, char* argv[])
{

    Eigen::Matrix<double, 4, 3>  M_eig;
    M_eig << 761.544, 0, 0,
             0, 761.544, 0,
             639.5, 399.5, 1.0,
             3.762513283904080e+06, 1.824431013104484e+06, 9.837714402800992e+03;
    arma::mat M_arma;
    M_arma << M_eig(0, 0) << M_eig(0, 1) << M_eig(0, 2) << arma::endr
        << M_eig(1, 0) << M_eig(1, 1) << M_eig(1, 2) << arma::endr
        << M_eig(2, 0) << M_eig(2, 1) << M_eig(2, 2) << arma::endr
        << M_eig(3, 0) << M_eig(3, 1) << M_eig(3, 2) << arma::endr;

    Eigen::Matrix<double, 1, 3> pixelCoords_eig;
    pixelCoords_eig << 457, 520, 1;
    arma::mat pixelCoords_arma;
    pixelCoords_arma << 457 << 520 << 1 << arma::endr;

    Eigen::Matrix<double, 1, 4> worldCoords_eig;
    arma::mat worldCoords_arma;

    worldCoords_arma = mrdivide(M_arma, pixelCoords_arma);
    worldCoords_eig = mrdivide(M_eig, pixelCoords_eig);
    std::cout << "world coords arma: " << worldCoords_arma << std::endl;
    std::cout << "world coords eig: " << worldCoords_eig << std::endl;   

}

我的输出是：

world coords arma: 5.3599e-002  4.242e-001  1.3120e-001  8.8313e-005
world coors eig: .0978826  .439301  0   0.00010165

这里的特征解是正确的（Matlab 给我的，并且对我正在执行的计算具有逻辑意义）。为什么犰狳会给我错误的解决方案？

Answer 1

解决方案犰狳是正确的，因为您解决了超定系统。
因此不同方法得到的解可能不同。 下面的代码演示了如何使用 Armadilio 库，得到类似 Matlab 的结果。 为简单起见，我没有完全实现算法，也没有检查参数函数的正确性，因此交换行是人为的（并不是真正必要的）。

# include <iostream>
# include <armadillo>
# include <algorithm>
# include <array>

arma::mat qr_solve2(const arma::mat &A,const arma::mat &B);

arma::mat mrdivide(arma::mat A, arma::mat B)
    {
    return solve(A.t(), B.t());
    }
int main()
    {
    std::array<double,12> arr = {
        761.544 , 0 ,639.5,
        3.762513283904080e+06,0 , 761.544,
        399.5,1.824431013104484e+06,0,
        0, 1.0, 9.837714402800992e+03
        };
    arma::mat A(4,3);
    std::copy(arr.begin(),arr.end(),A.begin());
    arma::mat B;
    B << 457 << 520 << 1 << arma::endr;
    arma::mat V = mrdivide(A,B);
    std::cout<<V<<std::endl;
    std::cout<<A.t()*V<<std::endl;
    arma::mat Z = qr_solve2(A.t(),B.t());
    std::cout<<Z<<std::endl;
    std::cout<<A.t()*Z<<std::endl;
    return 0;
    }
arma::mat qr_solve2(const arma::mat &A,const arma::mat &B)
    {
    arma::mat Q, R;
    arma::qr(Q,R,A);
    unsigned int s = R.n_rows-1;
    arma::mat R_ = R( arma::span(0,s), arma::span(0,s-1) ) ;

    R_ = arma::join_horiz(R_,R.col(s+1));
    arma::mat newB = Q.t()*B;
    arma::mat X(s+1,1);

    for (int i = s; i >= 0; i--)
        {
        X[i] = newB[i];
        for (int j = s; j != i; j--)
            X[i] = X[i] - R_(i,j) * X[j];
        X[i] = X[i]/R_(i,i);
        }

    arma::mat res = X( arma::span(0,s-1), arma::span(0,0) ) ;

    res =  arma::join_vert(res,arma::mat(1,1, arma::fill::zeros));
    res = arma::join_vert(res,X.row(s));
    return res;
    }

与往常一样，在编译时指示大小矩阵会降低内存分配的成本，因此可以使用它来加快计算速度。

Answer 2

关于 Eigen 的速度，您可以通过以这种方式移除所有堆分配来显着提升（几乎快一个数量级）：

Matrix<double, 1, 4> mrdivide(const Matrix<double, 4, 3> &A,
                              const Matrix<double, 1, 3> &B){
  return A.transpose().colPivHouseholderQr().solve(B.transpose());
}

您还可以通过对 M_eig 使用行优先矩阵使 A.transpose() 是列优先矩阵来多节省 10%：

Matrix<double, 4, 3,RowMajor>  M_eig;
Matrix<double, 1, 4> mrdivide(const Matrix<double, 4, 3, RowMajor> &A,
                              const Matrix<double, 1, 3> &B);

最后，由于您的问题在数值上条件良好，您还可以使用基于 Cholesky 的求解器来获得额外的 x2 加速（在这种情况下，保留 M_eig 的默认存储）：

Matrix<double, 1, 4> mrdivide(const Matrix<double, 4, 3> &A, const Matrix<double, 1, 3> &B){
  return (A*A.transpose()).ldlt().solve(A*B.transpose());
}

为了完整起见，这里是一个实现 QR 和 LDLT 解决方案的独立示例：

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>
using namespace Eigen;

Matrix<double, 1, 4> mrdivide_qr(const Matrix<double, 4, 3> &A,
                              const Matrix<double, 1, 3> &B){
  return A.transpose().colPivHouseholderQr().solve(B.transpose());
}

Matrix<double, 1, 4> mrdivide_ldlt(const Matrix<double, 4, 3> &A, const Matrix<double, 1, 3> &B){
  return (A*A.transpose()).ldlt().solve(A*B.transpose());
}

int main(int argc, char* argv[])
{
    Matrix<double, 4, 3>  M_eig;
    M_eig << 761.544, 0, 0,
            0, 761.544, 0,
            639.5, 399.5, 1.0,
            3.762513283904080e+06, 1.824431013104484e+06, 9.837714402800992e+03;

    Matrix<double, 1, 3> pixelCoords_eig;
    pixelCoords_eig << 457, 520, 1;

    Matrix<double, 1, 4> worldCoords_eig;

    worldCoords_eig = mrdivide_qr(M_eig, pixelCoords_eig);
    std::cout << "world coords using QR:   " << worldCoords_eig << std::endl;

    worldCoords_eig = mrdivide_ldlt(M_eig, pixelCoords_eig);
    std::cout << "world coords using LDLT: " << worldCoords_eig << std::endl;
}

mrdivide_ldlt 与mrdivide_qr 一样快，后者本身比问题的mrdivide 函数快得多。