优化在矩形中包含相同大小的正方形

Question

假设我们有几个相同大小的正方形。我们要绘制n 矩形（此处为红色和黄色矩形）来包含这些正方形。

目标是尽可能减少浪费的空间。

在下面的示例中，首选n = 2 和右侧的解决方案，因为它只会浪费一个空间。

是否有任何已知的算法可以解决这类问题？

更新： 正方形的排列是任意的，它们总是在 X 轴上方！

更新 2： 为了使问题更简单，让我们假设所谓的容器矩形彼此重叠！ （此处为红色和黄色矩形）

稍微复杂一点的情况： 让我们假设这个也使用了两个矩形。可以看出，第 3 种解决方案的空间浪费最少。

Answer 1

这个问题几乎与 ITA Software 提出的招聘难题相同，称为 "Strawberry Fields"（向下滚动查看 Strawberry Fields；将温室成本从 10 更改为 0）。我可以确认整数编程，特别是branch and price，其中高级决策是是否将两个正方形放在同一个矩形中，非常非常适合这个问题。这是我的 custom solver，用 C 语言编写。您需要将 strawberry_fields.h 中的温室成本从 10 更改为 0。

Answer 2

这种类型的矩形覆盖是困难的（实际上是NP-hard，你可以用它来解决矩形覆盖问题），但是你可以用整数线性规划来解决这个问题，如下：

minimize sum[i] take[i] * area[i]
st
sum[i] take[i] == n
for every filled cell x,y:
    sum[rectangle i covers x,y] take[i] == 1
take[i] in { 0, 1 }

矩形列表仅包含您可能需要的“合理”矩形。即只有在不发现一些填充单元格的情况下不能变小的矩形，并且您可以跳过某些“内部矩形”，您可以判断它们永远不会成为解决方案的一部分，因为它们会留下更难覆盖的形状。生成这些矩形本身就是一个有趣的练习，但是生成太多并不是一个大问题，只是速度较慢。在解决方案中，任何为 1 的take[i] 对应于您所取的一个矩形。

您可以将其放入任何可用的求解器中，例如 GLPK（免费）或 Gurobi（提供商业和学术许可）。

这一般应该比蛮力要快，因为可以使用线性松弛（与上面相同的模型，但最后一个约束转换为0 <= take[i] <= 1）来指导搜索，并且可以应用各种平面切割技巧。

更多高级技巧可以在this paper 中找到，例如使用线性松弛的分数解的技巧。