编程竞赛中的背包变体

Question

问题：

考试由 N 个问题组成。 N道题的分数分别为m1、m2、m3、.. mN。 Jam 正在参加考试，他想最大限度地提高自己的分数。 然而，他需要一些时间来解决每个问题。他解决问题所用的时间分别为 t1, t2, t3, .. tN。 考试总时间为T。 但是 Jam 的老师很聪明，她知道 Jam 会想办法获得最高分。所以，为了迷惑Jam，她还为他提供了奖金—— 提议是，Jam 可以选择一个问题，他可以为该问题获得双倍的分数。 现在，Jam 确实很困惑。帮助他找出他可以获得的最大分数。

约束

1

1

1

1

我尝试了这个问题here 并提出了以下算法：

既然问题说，我们可以选择一个问题，他可以为该问题获得双倍的分数。

所以，为了选择那个问题，我应用了贪婪方法，即..

1. 应选择具有较大（分数/时间）比率的问题，他可以为此问题获得双倍分数。

2. 如果该比例也相同，则应选择分数较大的问题。

   就我理解的问题而言，其余的都是简单的背包。 我尝试了以下实现，但得到了错误的答案。 对于给定的测试用例，我的代码给出了正确的输出

   3 10 1 2 3 4 3 4

我已经尝试了 cmets 部分中给出的这个测试用例，我的代码给出了 16 作为输出，但答案应该是 18

  3 
  9
  9 6 5
  8 5 3

蛮力方法会超出时间限制，因为解决 N 个背包的复杂度 O(nW) 将给出 O(n^2 W) 的整体时间复杂度 我认为可以为这个问题开发一个更具体的算法。 还有比这更好的主意吗？

谢谢

    #include<iostream>
    #include<cstdio>
    using namespace std;
    int T[2][10002];
    int a[1000002],b[100002];
    float c[100002];
    int knapSack(int W,int val[],int wgt[],int n)
    {
    int i,j;

    for(i=0;i<n+1;i++)
    {
        if(i%2==0)
        {
            for(j=0;j<W+1;j++)
            {
            if(i==0 || j==0)
            T[0][j]=0;
            else if(wgt[i-1]<=j)
            T[0][j]=max(val[i-1]+T[1][j-wgt[i-1]],T[1][j]);
            else
            T[0][j]=T[1][j];
            }
        }
        else
        {
            for(j=0;j<W+1;j++)
            {
            if(i==0 || j==0)
            T[1][j]=0;
            else if(wgt[i-1]<=j)
            T[1][j]=max(val[i-1]+T[0][j-wgt[i-1]],T[0][j]);
            else
            T[1][j]=T[0][j];
            }
        }
    }
    if(n%2!=0)
        return T[1][W];
    else
        return T[0][W];
    }


    int main()
    {
    int n,i,j,index,t,mintime,maxval;
    float maxr;
    cin>>n;
    cin>>t;
    for(i=0;i<n;i++)
        cin>>a[i];

    for(i=0;i<n;i++)
        cin>>b[i];

    maxr=0;
    index=0;
    mintime=b[0];
    maxval=a[0];

    for(i=0;i<n;i++)
        {
            c[i]=(float)a[i]/b[i];  
                if(c[i]==maxr && b[i]<=t)
                {
                    if(a[i]>=maxval)
                    {
                    maxval=a[i];
                    mintime=b[i];
                    index=i;
                    }
                }   
                else if(c[i]>maxr && b[i]<=t)
                {
                maxr=c[i];
                maxval=a[i];
                mintime=b[i];
                index=i;
                }

        }

    a[index]=a[index]*2;
    int xx=knapSack(t,a,b,n);
    printf("%d\n",xx);
    }

Answer 1

要解决这个问题，我们先来看the wikipedia article on the Knapsack problem，它为正则问题提供了动态规划解决方案：

// Input:
// Values (stored in array v)
// Weights (stored in array w)
// Number of distinct items (n)
// Knapsack capacity (W)
for j from 0 to W do
  m[0, j] := 0
end for 
for i from 1 to n do
  for j from 0 to W do
    if w[i] <= j then
      m[i, j] := max(m[i-1, j], m[i-1, j-w[i]] + v[i])
    else
      m[i, j] := m[i-1, j]
    end if
  end for
end for

（正如文章所说，您可以通过使用一维数组 m 而不是二维数组来减少内存使用量）。

现在我们可以使用这个想法来解决扩展问题。您可以计算两个表：您可以计算 m0 和 m1，而不是 m。 m0[i, w] 存储使用重量最多为 w 的前 i 个项目（在您的情况下是时间）获得的最大值，不使用双重评分问题。类似地，m1 存储使用权重（在您的情况下）最多为 w 的前 i 个项目获得的最大值，并使用双重评分问题。

更新规则改为：

if w[i] <= j then
    m0[i, j] := max(m0[i-1, j], m0[i-1, j-w[i]] + v[i])
    m1[i, j] := max(m1[i-1, j], m1[i-1, j-w[i]] + v[i], m0[i-1, j-w[i]] + 2 * v[i])
else
    m0[i, j] = m0[i-1, j]
    m1[i, j] = m1[i-1, j]
end if

与常规问题一样，您可以使用两个一维数组而不是两个二维数组来减少内存使用量。

Answer 2

为什么不使用动态编程？

http://en.wikipedia.org/wiki/Knapsack_problem#Dynamic_programming