使用原始类型进行模乘的方法

Question

有没有办法构建例如(853467 * 21660421200929) % 100000000000007 没有 BigInteger 库（注意每个数字都适合 64 位整数但乘法结果不适合）？

这个解决方案似乎效率低：

int64_t mulmod(int64_t a, int64_t b, int64_t m) {
    if (b < a)
        std::swap(a, b);
    int64_t res = 0;
    for (int64_t i = 0; i < a; i++) {
        res += b;
        res %= m;
    }
    return res;
}

Answer 1

您应该使用Russian Peasant multiplication。它使用重复加倍来计算所有值(b*2^i)%m，如果设置了a 的ith 位，则将它们相加。

uint64_t mulmod(uint64_t a, uint64_t b, uint64_t m) {
    int64_t res = 0;
    while (a != 0) {
        if (a & 1) res = (res + b) % m;
        a >>= 1;
        b = (b << 1) % m;
    }
    return res;
}

它改进了您的算法，因为它需要 O(log(a)) 时间，而不是 O(a) 时间。

注意事项：无符号，仅当 m 为 63 位或更少时才有效。

Answer 2

Keith Randall's answer 很好，但正如他所说，需要注意的是，它只有在 m 为 63 位或更少时才有效。

这是一个有两个优点的修改：

1. 即使m 是 64 位，它也可以工作。
2. 它不需要使用模运算，这在某些处理器上可能很昂贵。

(注意res -= m 和temp_b -= m 行依赖64位无符号整数溢出来给出预期的结果。这应该没问题，因为无符号整数溢出在C和C++中定义良好。为此因为它是important to use unsigned integer types。）

uint64_t mulmod(uint64_t a, uint64_t b, uint64_t m) {
    uint64_t res = 0;
    uint64_t temp_b;

    /* Only needed if b may be >= m */
    if (b >= m) {
        if (m > UINT64_MAX / 2u)
            b -= m;
        else
            b %= m;
    }

    while (a != 0) {
        if (a & 1) {
            /* Add b to res, modulo m, without overflow */
            if (b >= m - res) /* Equiv to if (res + b >= m), without overflow */
                res -= m;
            res += b;
        }
        a >>= 1;

        /* Double b, modulo m */
        temp_b = b;
        if (b >= m - b)       /* Equiv to if (2 * b >= m), without overflow */
            temp_b -= m;
        b += temp_b;
    }
    return res;
}

Answer 3

这两种方法都适合我。第一个与您的相同，但我将您的数字更改为明确的 ULL。第二个使用汇编符号，它应该工作得更快。 密码学中也使用了一些算法（我猜主要是基于 RSA 和 RSA 的密码学），就像已经提到的蒙哥马利减少一样，但我认为实现它们需要时间。

#include <algorithm>
#include <iostream>

__uint64_t mulmod1(__uint64_t a, __uint64_t b, __uint64_t m) {
  if (b < a)
    std::swap(a, b);
  __uint64_t res = 0;
  for (__uint64_t i = 0; i < a; i++) {
    res += b;
    res %= m;
  }
  return res;
}

__uint64_t mulmod2(__uint64_t a, __uint64_t b, __uint64_t m) {
  __uint64_t r;
  __asm__
  ( "mulq %2\n\t"
      "divq %3"
      : "=&d" (r), "+%a" (a)
      : "rm" (b), "rm" (m)
      : "cc"
  );
  return r;
}

int main() {
  using namespace std;
  __uint64_t a = 853467ULL;
  __uint64_t b = 21660421200929ULL;
  __uint64_t c = 100000000000007ULL;

  cout << mulmod1(a, b, c) << endl;
  cout << mulmod2(a, b, c) << endl;
  return 0;
}

Answer 4

对重复加倍算法的改进是检查一次可以计算多少位而不会溢出。可以对这两个参数进行提前退出检查——加速（不太可能？）N 不是素数的事件。

例如100000000000007 == 0x00005af3107a4007，允许每次迭代计算 16（或 17）位。示例中实际迭代次数为 3。

// just a conceptual routine
int get_leading_zeroes(uint64_t n)
{
   int a=0;
   while ((n & 0x8000000000000000) == 0) { a++; n<<=1; }
   return a;
}

uint64_t mulmod(uint64_t a, uint64_t b, uint64_t n)
{
     uint64_t result = 0;
     int N = get_leading_zeroes(n);
     uint64_t mask = (1<<N) - 1;
     a %= n;
     b %= n;  // Make sure all values are originally in the proper range?
     // n is not necessarily a prime -- so both a & b can end up being zero
     while (a>0 && b>0)
     {
         result = (result + (b & mask) * a) % n;  // no overflow
         b>>=N;
         a = (a << N) % n;
     }
     return result;
}

Answer 5

您可以尝试将乘法分解为加法：

// compute (a * b) % m:

unsigned int multmod(unsigned int a, unsigned int b, unsigned int m)
{
    unsigned int result = 0;

    a %= m;
    b %= m;

    while (b)
    {
        if (b % 2 != 0)
        {
            result = (result + a) % m;
        }

        a = (a * 2) % m;
        b /= 2;
    }

    return result;
}

Answer 6

a * b % m 等于 a * b - (a * b / m) * m

使用浮点算法逼近a * b / m。近似值留下了一个足够小的值，用于正常的 64 位整数运算，m 最多 63 位。

此方法受double 的有效位限制，通常为52 位。

uint64_t mod_mul_52(uint64_t a, uint64_t b, uint64_t m) {
    uint64_t c = (double)a * b / m - 1;
    uint64_t d = a * b - c * m;

    return d % m;
}

此方法受long double 的有效位限制，通常为64 位或更大。整数运算限制为 63 位。

uint64_t mod_mul_63(uint64_t a, uint64_t b, uint64_t m) {
    uint64_t c = (long double)a * b / m - 1;
    uint64_t d = a * b - c * m;

    return d % m;
}

这些方法要求a 和b 小于m。要处理任意的a 和b，请在计算c 之前添加这些行。

a = a % m;
b = b % m;

在这两种方法中，最终的% 操作都可以是有条件的。

return d >= m ? d % m : d;

Answer 7

我可以建议对您的算法进行改进。

您实际上是通过每次添加b 来迭代计算a * b，在每次迭代后进行取模。最好每次都加上b * x，而x是确定的，这样b * x就不会溢出了。

int64_t mulmod(int64_t a, int64_t b, int64_t m)
{
    a %= m;
    b %= m;

    int64_t x = 1;
    int64_t bx = b;

    while (x < a)
    {
        int64_t bb = bx * 2;
        if (bb <= bx)
            break; // overflow

        x *= 2;
        bx = bb;
    }

    int64_t ans = 0;

    for (; x < a; a -= x)
        ans = (ans + bx) % m;

    return (ans + a*b) % m;
}