Numpy/Python 中基本数学运算的速度：为什么整数除法最慢？

Question

EDIT2：正如@ShadowRanger 所指出的，这是一种 Numpy 现象，而不是 Python。但是，当在 Python 中使用列表推导式进行计算时（所以 x+y 变为 [a+b for a,b in zip(x,y)]），那么所有算术运算仍然需要同样长的时间（尽管是 Numpy 的 100 倍以上）。但是，当我在实际模拟中使用整数除法时，它们运行得更快。 所以主要问题仍然存在：即使在 Python 中，为什么这些测试表明整数除法并不比常规除法快？

EDIT1：版本：Python 3.5.5、Numpy 1.15.0。

似乎在 PythonNumpy 中，整数除法更多比常规除法（整数）昂贵，这是违反直觉的。测试时，我得到了这个：

setup_string = 'import numpy as np;\
                N=int(1e5);\
                x=np.arange(1,N+1, dtype=int);\
                y=np.arange(N, dtype=int);'

加法 (+) ~ 0.1s

timeit("x+y", setup=setup_string, number=int(1e3))
0.09872294100932777

减法 (-) ~ 0.1s

timeit("x-y", setup=setup_string, number=int(1e3))
0.09425603999989107

乘法 (*) ~ 0.1s

timeit("x*y", setup=setup_string, number=int(1e3))
0.09888673899695277

除法 (/) ~ 0.35s

timeit("x/y", setup=setup_string, number=int(1e3))
0.3574664070038125

整数除法 (//) ~ 1s (!)

timeit("x//y", setup=setup_string, number=int(1e3))
1.006298642983893

任何想法为什么会发生这种情况？为什么整数除法不快？

Answer 1

简答：在硬件层面，浮点除法比整数除法更便宜。并且在至少一种通用架构上，浮点除法可以向量化，而整数除法不能，因此代码中最昂贵的运算必须执行更多次，整数运算的每次运算成本更高，而浮点运算执行的次数更少次，每次操作的成本更低。

长答案：numpy 在可用时使用矢量化数学，the x86-64 architecture (which I'm guessing you're using) doesn't provide a SIMD instruction for integer division。它只为整数提供向量化乘法（通过PMULUDQ 系列指令），但为浮点提供乘法（MULPD family）和除法（DIVPD family）。

当您使用/ 进行真正的除法时，结果类型是float64，而不是int64，并且numpy 可以通过单个打包加载和转换来执行操作（使用the VCVTQQ2PD family of operations，后跟一个打包除法，然后打包回内存 (MOVAPD family)。

在采用 AVX512 的最现代 x86-64 芯片（至强融核 x200+ 和 Skylake-X 及更高版本，后者自 2017 年底起可用于桌面市场）上，每条此类矢量化指令可以同时执行八项操作（旧架构从 2011 年后可以用 AVX 做四个，在此之前你可以用 SSE2 做两个）。对于/，这意味着您只需为每八个分区发出两个VCVTQQ2PDs（每个源阵列一个），一个VDIVPD 和一个VMOVAPD（所有EVEX 前缀为512 位操作）到被执行。相比之下，// 要执行相同的八次除法，它需要从内存发出八个MOVs（加载左侧数组操作数），八次CQOs（将左侧数组操作数符号扩展至 128 位）值IDIV 需要），八个IDIVs（至少为您从右侧数组加载）和八个MOVs 回到内存。

我不知道numpy 是否充分利用了这一点（我自己的副本显然是针对所有 x86-64 机器提供的 SSE2 基线编译的，所以它一次只进行两个分区，而不是八个分区），但它是可能，但根本无法对等价的整数运算进行矢量化。

虽然整数情况下的单独指令通常便宜一些，但它们基本上总是比组合的等效指令更昂贵。而对于整数除法，单个操作实际上比压缩操作的浮点除法更糟糕；每Agner Fog's Skylake-X table，每IDIV的成本为24-90个周期，延迟为42-95； VDIVPD 与所有 512 位寄存器的成本为 16 个周期，延迟为 24 个周期。 VDIVPD 不只是做八倍的工作，它（最多）在 IDIV 所需的三分之二的周期内完成（我不知道为什么 IDIV 的周期计数范围如此之大，但是VDIVPD 甚至超过了 IDIV 的最佳数字）。对于普通的 AVX 操作（每个 VDIVPD 只有四个除法），每个操作的周期减少了一半（到八个），而在每条指令两个除法上的普通 DIVPD 只有四个周期，所以除法本身基本相同无论您使用 SSE2、AVX 还是 AVX512 指令（AVX512 只是为您节省一点延迟和加载/存储开销），都可以提高速度。即使从未使用过向量化指令，普通的FDIV 也只是一个 4-5 个周期的指令（二进制浮点除法通常比整数除法更容易，看图），所以你会期望看到浮点数学不错。

Point 在硬件级别上，除法大量 64 位浮点值比除法大量 64 位整数值便宜，因此使用 / 的真正除法本质上比使用 // 的地板除法更快。

在我自己的机器上（我已经验证它仅使用基线 SSE2 DIVPD，因此它每条指令只执行两个除法），我尝试复制您的结果，并且我的时间差异较小。真正的除法，每次操作耗时 485 μs，而地板除法每次操作耗时 1.05 ms；地板分割只长了 2 倍多一点，对你来说几乎长了 3 倍。猜测一下，您的 numpy 副本是在支持 AVX 或 AVX512 的情况下编译的，因此您从真正的除法中获得了更多的性能。

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至于为什么非numpyPythonint地板除法比真除法时间长，原因类似，但有一些复杂因素：

1. （帮助int / int，伤害int // int）同样适用于numpy 的硬件指令开销问题； IDIV 比 FDIV 慢。
2. （隐藏性能差异）执行单个除法的解释器开销占总时间的更大百分比（减少相对性能差异，因为更多时间花在开销上）
3. （通常会增加整数运算的成本）在 Python ints 上，整数除法的成本甚至更多；在 CPython 上，int 实现为 15 位或 30 位肢体数组，ssize_t 定义了签名和肢体数量。 CPython 的 float 只是普通 C double 的普通对象包装器，没有特殊功能。
4. （增加int // int的成本）Python保证取整除法，但C只提供截断整数除法，所以即使在小ints的快速路径中，Python也必须检查不匹配的符号并将操作调整为确保结果是地板，而不是简单的截断。
5. （增加int / int 运算的成本，专门针对大输入）CPython 的int / int 运算不仅将两个操作数都转换为float（C double）并执行浮点除法。当操作数足够小时，它会尝试这样做，但如果它们太大，它会使用复杂的后备算法来实现最佳的正确性。
6. （如果结果在短时间内被丢弃，则减少重复int / int 的成本）由于 Python floats 是固定大小的，因此他们实现了较小的性能优化以使用空闲列表；当您反复创建和删除floats 时，新创建的不需要进入内存分配器，它们只需从空闲列表中拉出，当引用计数降至零时释放到空闲列表。 CPython 的ints 是可变长度的，不使用空闲列表。

总的来说，这一切都略微支持int / int（至少对于小型ints；大型int 情况变得更加复杂，但是对于int // int 来说可能也更糟，因为数组基于-的除法算法非常复杂/昂贵），因此使用 Python 内置类型看到类似的行为并不意外。