实现 count_permutations 的更好方法？答案

【问题标题】：Better way to implement count_permutations?实现 count_permutations 的更好方法？
【发布时间】：2008-11-09 16:18:23
【问题描述】：

我需要一个函数 count_permutations() 来返回给定范围的排列数。 假设允许修改范围，并从第一个排列开始，我可以天真地将其实现为对 next_permutation() 的重复调用，如下所示：

template<class Ret, class Iter>
Ret count_permutations(Iter first, Iter last)
{
    Ret ret = 0;
    do {
        ++ret;
    } while (next_permutation(first, last));
    return ret;
}

有没有更快的方法不需要遍历所有排列来找到答案？它仍然可以假设输入可以被修改，并从第一个排列开始，但显然如果可以在没有这些假设的情况下实现它也会很棒。

【问题讨论】：

标签： c++ algorithm math

【解决方案1】：

所有元素都是唯一的范围的排列数是 n！其中 n 是范围的长度。

如果存在重复元素，您可以使用 n!/(n_0!)...(n_m!) 其中 n_0...n_m 是重复范围的长度。

所以例如 [1,2,3] 有 3！ = 6 个排列，而 [1,2,2] 有 3!/2! = 3 个排列。

编辑： 一个更好的例子是 [1,2,2,3,3,3] 它有 6!/2!3! = 60 个排列。

【讨论】：

好的，那么如果对范围进行了排序，则需要遍历该范围才能找到重复范围的所有大小。谢谢。
对于 C++，是的，如果对范围进行排序会更容易。对于像 Python 这样的动态类型语言，即使是未排序的列表也可以。即使您必须对范围进行排序，时间复杂度也是 O(n log n + n) = O(n log n)，不考虑阶乘计算。
注意13！太大而无法放入无符号的 32 位整数和 21！太大而无法放入无符号 64 位整数。如果您的范围包含大量元素，您可能需要使用 bignum 库来防止数学溢出。

【解决方案2】：

在数学中，函数 factorial !n 表示 n 个元素的排列数。

正如 Can Berg 和 Greg 所建议的，如果集合中有重复的元素，为了将它们考虑在内，我们必须将阶乘除以每个不可区分的组（由相同元素组成的组）的排列数。

以下实现计算范围 [first, end) 中元素的排列数。范围不需要排序。

// generic factorial implementation...

int factorial(int number) {
    int temp;
    if(number <= 1) return 1;
    temp = number * factorial(number - 1);
    return temp;
}

template<class Ret, class Iter>
Ret count_permutations(Iter first, Iter end)
{
    std::map<typename Iter::value_type, int> counter;
    Iter it = first;
    for( ; it != end; ++it) {
        counter[*it]++;
    }

    int n = 0;
    typename std::map<typename Iter::value_type, int>::iterator mi = counter.begin();
    for(; mi != counter.end() ; mi++)
        if ( mi->second > 1 )
            n += factorial(mi->second);

   return factorial(std::distance(first,end))/n;
}

【讨论】：

这不考虑重复元素