布尔卷积算法？答案

【问题标题】：Boolean convolution algorithm?布尔卷积算法？
【发布时间】：2014-03-27 09:26:19
【问题描述】：

我需要执行布尔卷积；即位向量的卷积，其中：

有没有我可以使用的算法（可能类似于 FFT）以比二次方时间更快的速度执行此操作？

我研究过“数论变换”(NTT)，但它们似乎是模算术的傅立叶模拟（在加法时回绕），而不是布尔算术（在加法时饱和）。

我知道的最佳选择是通过浮点 1 和 0 的向量来近似它，并简单地使用 FFT 并在某个截止值处对结果进行阈值化，但这可能容易出错（并且可能比必要的慢，虽然错误是我更关心的问题）。
（无论如何，我想知道是否有一种“正确”的方法可以做到这一点，尽管有这种潜在的选择。）

【问题讨论】：

您确定要使用 OR 表示“加法”吗？通常，AND 和 XOR 会在布尔值上为您提供环结构...
注意：我看到了一些优化机会：1）如果你使用OR，你可以短路。 2）您可以在窗口（或两个窗口）中保留 0s/1s 的计数，当它全部为 0s/1s 时，您就知道该离散点的结果。
@Krystian：是的；我不是在这里寻找环形结构。所以这意味着convolve([1], [1]) 对于我的应用程序肯定应该是[1]。
@KarolyHorvath：我不确定你的意思。你在考虑游程编码吗？如果你是，我认为虽然在某些情况下它非常有效，但在其他情况下它可能是二次的。如果没有，那么我想我没有理解你的意思。
1) 正如你所说，加法饱和。一旦达到 1，它就会一直停留在那里，所以不需要计算这个值的其余操作

【解决方案1】：

如果您将布尔向量作为 0-1 向量在整数上对大于较短向量长度的整数进行卷积（即分离中的最大项数），则非零条目的模式是相同的.

【讨论】：

+1 它确实在某些时候发生在我身上，但我没有意识到它必须是 shorter 向量的长度。感谢您指出。（仍在寻找更好的答案，但至少这给出了一个准确的解决方案。）
@Mehrdad Re 一个更好的答案：有些半环我们不知道如何有效地进行卷积（参见，例如，mathoverflow.net/questions/10237/…）。如果已知更好的算法，那么它会以某种根本不同的方式利用布尔半环的结构。这将是一个非常有趣的结果，所以我觉得如果它存在的话我现在会遇到它（但话又说回来，这不是我的“家”算法子领域）。你可以试试 cstheory 网站。
哇哦，这真的很有趣。我认为可能的原因是，当我搜索时，我看到到处都提到“FFT”，但我不确定它如何应用于布尔卷积。例如，on this page，他们提到了“布尔卷积（FFT）”，但没有提到如何去做，所以我不确定在那里做什么。我可以试试那个网站，谢谢..