为什么这个实现是可折叠类型类的错误实例？

Question

我正在处理精彩的Haskell Book。在 Traversable 章节（21）的最后，我需要为下面的 Tree 写一个实例：

data Tree a =
    Empty
  | Leaf a
  | Node (Tree a) a (Tree a)

这是我的解决方案的a link to the full code。练习建议尝试同时实现foldMap 和foldr。这就是我实现foldr 的方式（没有过多考虑调用顺序）：

foldr _ z Empty = z
foldr f z (Leaf x) = f x z
foldr f z (Node left x right) = 
  f x $ foldr f (foldr f z left) right

然后我实现foldMap如下：

foldMap f Empty = mempty
foldMap f (Leaf x) = f x
foldMap f (Node left x right) = 
  foldMap f left <> f x <> foldMap f right

当我运行 QuickCheck 的 foldable 测试批次时，我遇到了一些失败。将我的 foldr 实现更改为以下内容可使所有测试通过：

foldr _ z Empty = z
foldr f z (Leaf x) = f x z
foldr f z (Node left x right) = 
  foldr f (f x (foldr f z right)) left

我尝试自己运行失败的测试用例，但无法重新创建失败：

*Ch21_12_ExercisesTree Data.Monoid> tree = Node (Node (Leaf (-5)) 3 (Node (Leaf 3) 5 Empty)) (-2) Empty
*Ch21_12_ExercisesTree Data.Monoid> foldr (<>) (mempty :: Sum Int) t
Sum {getSum = 4}
*Ch21_12_ExercisesTree Data.Monoid> foldMap Sum t
Sum {getSum = 4}

我怀疑 QuickCheck 正在使用的 folding 函数有什么我不明白的地方。

问题：

1. 为什么会出现故障？
2. 有没有办法通过 QuickCheck 获取测试中使用的函数？

Answer 1

foldr 可以从foldMap by using the Endo monoid 获得，a -> b -> b 函数将a 值转换为可以（单向）组合的b -> b 函数。既然如此，如果你的foldMap 是……

foldMap f Empty = mempty
foldMap f (Leaf x) = f x
foldMap f (Node left x right) = 
  foldMap f left <> f x <> foldMap f right

...对应的foldr必须是：

foldr f z Empty = id z  -- mempty amounts to id
foldr f z (Leaf x) = (f x) z
foldr f z (Node left x right) = 
  ((\e -> foldr f e left) . f x . (\e -> foldr f e right)) z  -- (<>) amounts to (.)

如果我们把它整理一下......

foldr f z Empty = z
foldr f z (Leaf x) = f x z
foldr f z (Node left x right) = 
  foldr f (f x (foldr f z right)) left)

...我们得到了您问题中所写foldr 的正确定义。由于实现之间的差异与组合顺序有关，因此尝试非交换幺半群很容易导致失败案例，as you have found out。

关于 QuickCheck 子问题，我遵从DDub's answer.。

Answer 2

正如您已经推断的那样，您遇到失败的原因是因为这两种实现是可区分的，您可以通过使用非交换幺半群来观察。

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获取quickcheck使用的函数并不是那么简单。例如，请参阅 this question/answer 关于由 quickcheck 生成的 Showing 函数以获取更多信息。

从 QuickCheck 中获取 Showable 函数的方法是将函数包装在 the Fun type 中。也就是说，您调用的代码 (found here) 只是直接使用函数，因此它们永远无法显示。您可以尝试的一种选择是创建您自己版本的 foldable 函数，您可以根据需要使用类型 Fun a b 代替 a -> b 和 applyFun 来应用函数。

Answer 3

我刚刚意识到我使用了可交换 Monoid ...我能够使用非可交换 Monoid 重新创建故障：

> ftree = fmap (First . Just) tree
> foldr (<>) mempty ft
First {getFirst = Just (-2)}
> foldMap (First . Just) ft
First {getFirst = Just (First {getFirst = Just (-5)})}

这可能是一个简单的案例。我想在具有真实数据类型的生产代码中，这可能要复杂得多。