Concave and Convex Polygon - 将任意多边形变成凸多边形答案

【问题标题】：Concave and Convex Polygon - Turn arbitrary polygon into a convex polygonConcave and Convex Polygon - 将任意多边形变成凸多边形
【发布时间】：2010-12-01 11:01:35
【问题描述】：

如何识别并删除图像中绘制的这四个 RED 点

这四个点使该多边形成为凹多边形，这就是我要删除它的原因。

我的目标是通过识别和移除这些点来移除这种点，从而将凹多边形转换为凸多边形。

有什么方法可以识别和去除这些点吗？

【问题讨论】：

标签： math

【解决方案1】：

使用凸包算法（例如the Graham scan），并删除所有不结果凸包部分的点。

在您的示例中，凸包将由 P1、P2、P3、P5、P7、P8、P9、P11、P12、P13、P14、P15、P16、P18 组成，它们恰好是除红色点之外的所有点.

请注意，简单地删除那些内角大于 180 的点不一定会产生凸多边形。以这个多边形为例：

【讨论】：

这是我从未考虑过的事情：如果你一直删除反射点，只要有反射点，你肯定会得到一个凸多边形吗？因此，在上图中，您将删除两个反射，这将使它们之间的一个反射，因此您也将杀死它。我想一个正式的证明将取决于证明这样的事情会合理地终止。
当然可以，但是您最终会得到一个 n 方算法，并且与格雷厄姆扫描相反，它需要您知道点的顺序。

【解决方案2】：

aioobe 说得对 - 您听起来好像要计算多边形的凸包，在这种情况下，您需要 convex hull algorithms 之一，例如 Graham 扫描或 Chan 算法。

但是，如果您只想知道一个角度是凸角还是凹角，有一种快速计算方法可以避免使用三角函数。

如果A、B、C是围绕多边形顺时针方向的连续顶点，那么如果B处的顶点是凸的

(B - A)^⟂ · (C - B)

这里的 V^⟂ 是一个 V 逆时针旋转 90° 的向量，可以这样计算：(x,y)^⟂ = (−y, x)。

【讨论】：

这里的dot(.)是点积还是乘法？
点积。（“乘法”作为向量运算几乎没有意义，因此可以安全地假设带点的向量积是点积。）
请检查这是正确的计算。如果, A(7, 11) B(8, 9) C(11,8) 那么, (BA)·(CB) =((8-7,9-11)·(11-8,8-9) ) = (1, -2)·(3, -1) = 3 + 2 = 5 > 0，表示 B 点为凹点。对吗？
如果A、B、C逆时针走怎么办？ < 刚刚改成> 那么呢？

【解决方案3】：

您可以通过查看内角来检测凹点 - 如果大于半圆，则该点为凹点。事实上，它们通常被称为反射点，因为内角是反射的。

一种快速检查方法是点积。比如看P14、P15、P16这三个点。 P16在P14到P15的线段的后面（即P15到P16的向量与该线法线的点积为负），所以P15是一个凸点。

P18 在 P16 到 P16 的线段所在直线的前面（即 P17 到 P18 的向量与该直线法线的点积为正），所以 P17 是一个反射点。

在 2d 中，线的法线就像翻转 x 和 y 坐标并取反一样简单。

但是，我认为您可能想要的是凸包 - 考虑是否可能存在凸点仍然会创建凹包。最明显的例子是，如果我将 P17 留在原处，但将 P18 和 P16 移动到更远的形状中，在它后面。如果是这样，那么您想查看convex hull 算法。

【讨论】：

请注意，删除内角大于 180 的点不一定会产生凸多边形。看我的回答。
哦，是的，我完全同意。这就是我最后一段的意思。如果我有歧义，请原谅我。
感谢您的想法，我发现了一些有趣的东西。我比较了多边形的有符号面积和三角形的有符号面积[prev, point, next]，如果它们有相同的符号，那么这个点就是“凸”的（不是反射的）。

【解决方案4】：

我猜你有点的坐标（P1、P2 等）。您可以获取每三个点之间产生的角度，如果小于180，则将其删除。要计算角度，请查看How to calculate an angle from three points?

【讨论】：

请注意，删除内角大于 180 的点不一定会产生凸多边形。看我的回答。
嗨 pinaki，三点之间的角度输出总是