等距角和比例尺之间有什么联系？答案

【问题标题】：What is the connection between an isometric angle and scale?等距角和比例尺之间有什么联系？
【发布时间】：2012-05-08 21:04:53
【问题描述】：

我正在尝试为自定义角度计算等距投影矩阵。在我使用的引擎中，有一个投影矩阵定义如下：

var project:Matrix = new Matrix();
projection.rotate(45 * (Math.PI / 180) );
scale = 1.4142137000082988; // not sure why this magic number is needed- now working on a "real" solution
projection.scale(scale * 1, scale * .5);

（上面的语法是actionscript，但这应该无关紧要）我目前正试图了解wikipedia article。我看到 beta 角是 45，就像上面的矩阵一样，但我不明白“神奇”数字来自哪里，以及等距角和比例尺比 (1,1/2) 之间的联系。

如果我想使用自定义角度，如何计算出我使用的角度而不是 45 ？，比例值和比例是多少？

【问题讨论】：

这个神奇的数字非常接近sqrt(2)。

标签： math projection isometric

【解决方案1】：

根据数学，它看起来像

scale = 1/cos(θ)

或

scale = 1/sin(θ)

其中θ 是旋转角度。

45 * (Math.PI / 180) 将 45° 转换为弧度 (π/4)
cos(π/4) = sin(π/4) = 0.7071067811865476
1/cos(π/4) = 1/sin(π/4) = 1.414213562373095，这就是你的神奇数字。

（自从我在 JavaScript 中运行这些快速计算以来的百万分之一的差异）

【讨论】：

这很方便。我可以看到这应该是一个二元 (30,45) 等距投影，这可以解释 (1,1/2) 缩放projection.scale(scale * 1, scale * .5); 我如何将其概括为任意角度而不是 30？我如何计算出比例应该是多少而不是 scale * 1, scale * .5 ？
Erm、dimetric 和 isometric 是相互排斥的——它们都是轴测投影的类型……无论如何，我不确定。

【解决方案2】：

只是为了保留视角，而不是其他。缩放不是实现等距正字法的必要条件。但是，当应用第一个旋转角度 (45 度) 时，图像会失去其原始比例。为了解决这个问题，通常会缩小图像。

等轴测投影是一种特殊类型的正交投影，其中每个轴均等表示并且轴之间的角度为 120 度。为此：绕水平轴旋转 45 度；然后围绕垂直轴旋转余弦 30 度的反正弦。所以，没有这样的自定义角度。该应用程序正在模拟具有非均匀比例变换的二次旋转。 x 轴刻度保持初始 45 度旋转；然而，y 轴被缩短了 50%。基本上，尺度变换是实现二次旋转变换（arcsin(cos(30 * (PI/180)))）。

您所指的“幻数”是 45 度余弦的两倍。

【讨论】：