从线性规划中消除冗余方程答案

【问题标题】：Eliminate a redundant equation from a linear programming从线性规划中消除冗余方程
【发布时间】：2016-02-03 01:02:04
【问题描述】：

我被要求用更少的方程重写这个线性规划问题。

MAX 7X1+5X2

S.t：

4X1+3X2 <= 2400
2X1+0.5X2 <= 750
X1 >= 100
X1,X2 >= 0

我所做的是使用单纯形法，我发现最大利润是 4030，其中 X1 = 100 和 X2=666。我可以用它说to obtain the maximum profit, X1 has always to be 100, then the third equation is an extra吗？

【问题讨论】：

标签： math mathematical-optimization linear-programming linear-equation

【解决方案1】：

由于我们只考虑一个简单的二维问题，我们可以用图形解决这个问题。首先注意目标函数的梯度是

∇f_obj = (7, 5)

从现在起，我们将用x 表示您的变量X1，用y 表示X2。

约束描述了下面的多面体(a)，目标函数的水平曲线在(b) 中给出（更亮的轮廓：增加的目标函数值）。

最佳值用上面(b)中的红点标记，(x^*, y^*) = (262.5, 450)。

很明显，不等式约束 4x+3y <= 2400 和 2x+0.5y <= 750 都是有效的，因为在这两者的交集处给出了最优值。

但是，约束 x >= 100 (X1 >= 100) 是无效的，因此是多余的。

【讨论】：

我无法删除非负方程。我不这么认为，因为我们不知道 X2 的价值。我尝试了很多方法，但似乎最后我得到了很多不同的答案。
是的，我明白了，但在问题中，我被要求不要触及非消极约束。上面忘了说抱歉
问题是正确的。在那种情况下，我能说既然x1=262.5，那么X1>100就是redun。？我穿它说禁止触摸非负。等式..
@Zok：因为我们有一个线性程序，所以最优值总是在我们程序的约束所定义的多型体的极值点之一。由于 LP:s 总是凸的，并且我们正在考虑一个最大化问题，只要每次遍历都沿着目标函数的梯度方向移动，就可以通过遍历多面体的角找到最优极值点。从上面的水平曲线可以看出，对于正多面体中的任何点：梯度都指向远离边界X1=100。因此，X1>=100 是多余的。
@Zok 乐于助人！关于您的另一个问题：如果不坐下来解决完整的问题以及一张纸和一支笔（手动执行简单的迭代有点混乱），我真的无法提供帮助，我很快就要上床睡觉了。尝试在 math.stackexchange.com 上提问（包括问题以及您的最佳尝试），纯数学问题更适合那里。祝您优化成功！

【解决方案2】：

[1] 2x1 + 0.5x2 ≤ 750 [2] 2x1 + 0.5x2 ≤ 4500 / 6 [3] 6 * (2x1 + 0.5x2) ≤ 4500 [4] 12x1 + 3x2 ≤ 4500 [5] 12x1 + 3x2 ≤ 4500 - 4x1 + 3x2 ≤ 2400 --------------------- 8x1 ≤ 2100 [6] x1 ≥ 2100 / 8 [7] x1 ≥ 262,5

步骤[2]中的那个6是指第一个约束中的3x2比第二个约束中的0.5x2大多少倍，简称3x2 / 0.5x2 = 6。

因此，可以消除第三个约束 x1 >= 100，因为实际上，考虑到第四个约束 x1,x2 >= 0，x1 必须大于或等于 262,5。

【讨论】：

您分析直到并包括第 5 步，只需计算 x1 的哪一个值，两条线 2x1 + 0.5x2 = 750 和 4x1 + 3x2 = 2400 交叉。但是，您不能从步骤 [5] 转到步骤 [6]（更改符号？）。请注意，允许大于和小于 x1=262.5 的值（请参阅我上面的答案中可行区域的多面体）。另外，请注意，您不能推断约束x1 >= 100 是多余的如果不将目标函数包括在分析中。如果例如对象。函数是f(x1,x2) = -7x1-5x2，那么约束x1 >= 100是非常相关的。

【解决方案3】：

好的，所以答案如下：-

X1 >= 100。 X1-100 >= 0 X1 - 100 = y

或 X1 = y+100 将前 2 个方程中的 X1 替换为 (y+100)。将非负性方程中的 X1 替换为 y，去掉第三个方程 .

【讨论】：

坦率地说，这是不正确的。在不考虑目标函数的情况下，您无法推断约束 X1 >= 100 是多余的。例如，如果目标函数是f(X1, X2) = -7X1-5X2，那么约束X1 >= 100 是非常相关的。唯一真正冗余约束（针对问题的可行区域，而不针对目标函数的梯度方向）是X1>=0：此约束永远不会激活（或需要）作为X1>=100 确保前者为真，默认情况下。