在 CGAL 中转换坐标值

Question

来自 CGAL，我目前正在使用以下软件包： Boolean operations on polygons

由于我对多边形感兴趣，除了线段之外，边也可以是圆段，因此我对基本 typedef 使用以下构建：

typedef CGAL::Exact_predicates_exact_constructions_kernel Kernel;
typedef Kernel::Point_2                                   Point_2;
typedef Kernel::Circle_2                                  Circle_2;
typedef Kernel::Line_2                                    Line_2;
typedef CGAL::Gps_circle_segment_traits_2<Kernel>         Traits_2;

typedef CGAL::General_polygon_set_2<Traits_2>             Polygon_set_2;
typedef Traits_2::General_polygon_2                       Polygon_2;
typedef Traits_2::General_polygon_with_holes_2            Polygon_with_holes_2;
typedef Traits_2::Curve_2                                 Curve_2;
typedef Traits_2::X_monotone_curve_2                      X_monotone_curve_2;
typedef Traits_2::Point_2                                 Point_2t;
typedef Traits_2::CoordNT                                 coordnt;
typedef CGAL::Arrangement_2<Traits_2>                     Arrangement_2;
typedef Arrangement_2::Face_handle                        Face_handle;

如上面的类型所示，我有两种点类型，即 Point_2，即 Kernel::Point_2，以及我称之为 Point_2t，即 Traits_2::Point_2。

它们之间的区别在于，Point_2 具有有理坐标 x(), y()，而 Point_2t 具有 Q(alpha) 中的坐标，其中 Q 代表有理域，而 alpha 是有理数的平方根。

或者，换句话说，Point_2 的坐标在 Kernel::FT 中，而 Point_2t 的坐标在 Traits_2::CoordNT 中。

所以从 Point_2 转换到 Point_2t 没有问题，但我还必须从 Point_2t 转换到 Point_2，希望以一种能够控制丢失精度的方式。

阅读文档并使用eclipse的自动完成功能，我编写了以下例程：

const int use_precision = 100;

CGAL::Gmpfr convert(CGAL::Gmpq z)
{
    CGAL::Gmpz num = z.numerator();
    CGAL::Gmpz den = z.denominator();

    CGAL::Gmpfr num_f(num);
    CGAL::Gmpfr den_f(den);

    return num_f/den_f;
}


CGAL::Gmpfr convert(Traits_2::CoordNT z)
{
    Kernel::FT a0_val = z.a0();
    Kernel::FT a1_val = z.a1();
    Kernel::FT root_val = z.root();

    CGAL::Gmpq a0_q = a0_val.exact();
    CGAL::Gmpq a1_q = a1_val.exact();
    CGAL::Gmpq root_q = root_val.exact();

    CGAL::Gmpfr a0_f = convert(a0_q);
    CGAL::Gmpfr a1_f = convert(a1_q);
    CGAL::Gmpfr root_f = convert(root_q);

    CGAL::Gmpfr res = a0_f + a1_f * root_f.sqrt(use_precision);

    return res;
}

Point_2 convert(Point_2t p)
{
    CGAL::Gmpfr xx = convert(p.x());
    CGAL::Gmpfr yy = convert(p.y());

    CGAL::Gmpq xx1 = xx;
    CGAL::Gmpq yy1 = yy;

    Kernel::FT xx2 = xx1;
    Kernel::FT yy2 = yy1;

    Point_2 pp(xx2, yy2);
    return pp;
}

基本上我将坐标从 Traits_2::CoordNT 转换成表格

(*) a0 + a1 * sqrt(根)

使用 a0, a1, root from Kernel::FT (=rational field)，然后将 a0, a1, root 转换为 Gmpq 有理数，这些转换为 Gmpfr，精度为 100 位小数，然后计算表达式 (*) 并转换回Gmpq 然后是 Kernel::FT。所有转换（或多或少）都是通过分配完成的，由 CGAL 自动转换。

在我的测试中，这似乎是正确的，但我仍然不能 100% 确定，根据 CGAL 定义，(*) 中的 sqrt(root) 表达式是否始终表示正平方根。

我查看了定义：

description of sqrt-extended Number type in CGAL

但即便如此，我也不完全相信，只取 sqrt(root) 的正值。

所以我想问那些在这一点上完全理解 CGAL 系统的人：

我上面的转换例程是否总是正确地假设要取的根的正值？

Answer 1

是的，你是对的。在CGAL Sqrt_extension 中，在表达式a0+a1√(root) 中，平方根始终为正或空。