c ++中的int（或long long）溢出如何影响模数？答案

【问题标题】：How does int(or long long) overflow in c++ affect modulus?c ++中的int（或long long）溢出如何影响模数？
【发布时间】：2015-06-14 20:50:01
【问题描述】：

假设我有两个 long long，a 和 b，我需要相乘，然后得到一些大 k 的值 mod k，这样 a、b 和 k 都在 long long 的范围内，而不是诠释。为简单起见，a, b

因此代码将是：

long long a, b, k;
cin >> a >> b >> k;
cout << (a * b)%k << "\n";

但是，由于 a 和 b 如此之大，如果你像上面那样相乘，它会溢出并变成负数，那么 mod k 将是一个负数并且不正确。

如何确保值 mod k 是正确的？

编辑：作为奖励，这在 Java 中是如何工作的？和预期的一样吗？还是需要 BigInteger？

【问题讨论】：

见stackoverflow.com/questions/4240748/…
a,b
尝试使用 (a * b) % k == ((a % k) * (b % k)) % k 的事实。如果 k 小于 long 这将起作用。如果没有，您将需要做一些简单的多精度。
从技术上讲，当您使用有符号值时，“溢出”之后的所有内容都是未定义的行为；任何事情都可能发生，
@RichardCritten，请在回答之前阅读问题和 cmets。 nneonneo 已经在您的正上方的评论中指出a，b

标签： c++ long-integer modulus integer-overflow

【解决方案1】：

许多编译器都提供 128 位整数类型。例如，g++ 可以创建一个函数

static inline int64_t mulmod(int64_t x, int64_t y, int64_t m)
{
    return ( (__int128_t)x * y) % m;
}

另外：如果可以的话，在进行模运算时尽量坚持使用无符号整数类型。整数除法的舍入行为使得在涉及有符号值时使用% 非常尴尬。

【讨论】：

【解决方案2】：

如果您知道这些值小于ULONGLONG_MAX/2（因此加法不会溢出），您可以一次乘一位：

unsigned long long mulmod(unsigned long long a, unsigned long unsigned long b, long long m) {
    unsigned long long rv = 0;
    a %= m;
    b %= m;
    while (b) {
        if (b&1) { rv += a; if (rv >= m) rv -= m; }
        a += a; if (a >= m) a -= m;
        b >>= 1; }
    return rv; }

如果你知道你在 gcc/x86_64 上运行，你可以试试：

unsigned long mulmod(unsigned long a, unsigned long b, unsigned long m) {
    unsigned long rv;
    asm ("mulq %2; divq %3" : "=d"(rv), "+a"(a): "S"(b), "c"(m));
    return rv;
}

最高可达ULONG_MAX

如果你的数字变得更大，你需要去一个多精度库，比如GMP

【讨论】：

一次一位是否意味着一个额外的 log(n) 乘法因子？
由于这里可能的最大大小是 63 或 127 位（取决于您的机器上 long long 的大小），渐近性能实际上并不适用。