提供一个运算简单的算法 O(n^3 log n)？答案

【问题标题】：Provide an algorithm O(n^3 log n) with simple operations?提供一个运算简单的算法 O(n^3 log n)？
【发布时间】：2013-08-22 06:23:28
【问题描述】：

提供一个算法计算性能O(n³ log n)。该算法应该只包含简单的操作。

知道如何解决这个问题吗？...我正在攻读计算机科学 GRE。谢谢！

【问题讨论】：

标签： algorithm big-o time-complexity asymptotic-complexity

【解决方案1】：

一种方法是编写一个运行 O(n³) 次的外循环和一个运行 O(log n) 次的内循环：

for (int i = 0; i < n * n * n; i++) {
   for (int j = 1; j <= n; j *= 2) {
       // ... do nothing ... //
   }
}

请注意，内部循环运行 log n 次，因为在循环 k 次迭代后 j 的值为 2^k，并且只要 k ≥ lg n，我们就会有 j = 2 ^k ≥ n.

另一种选择是编写一个递归函数，其运行时间通过Master Theorem 计算为 O(n³ log n)。一种方法是使用一个函数对大小为 n / 2 的子问题进行 8 次递归调用，并且每次调用都进行 Θ(n³) 工作：

void silly(int n) {
    if (n > 0) {
        for (int i = 0; i < n * n * n; i++) {
            // ... waste time ... //
        }
        for (int i = 0; i < 8; i++) {
            silly(n / 2);
        }
    }
}

编辑：正如@Nuclearman 所指出的，您还可以通过对大小为 n^{3 的数组进行排序来获得运行时 O(n³ log n) sup> 使用快速排序或堆排序等算法。更一般地，在大小为 n³ 的输入上运行运行时间为 O(n log n) 的任何算法都会产生 O(n³ log n) 的运行时间。这使用了 log (n³) = 3 log n = O(log n) 的事实。}

希望这会有所帮助！

【讨论】：

另一种可能性是对大小为 O(N^3) 的列表进行排序。
我本来可以的，但既然你已经有了一个相当完整的答案，那么简单地帮助你的答案更完整似乎更好。
似乎这是正确的做法，因为即使我来自那里，我也会忽略一般情况。

【解决方案2】：

您可以使用代数向后解决这个问题。

递归 T(n^3/3) 算法为您提供 O(n^3)，所以现在您只需要 T(n/2) 来记录日志。

N 必须等于 K 才能工作

过程T(n,k)是

T(n^3/3,k) 如果 n >=0

T(n,k/2) 如果 k>=0 且 n

它将运行 O(n^3)，然后是 O(log n)，因此无论如何，这个程序的最小运行时间是 O(n^3 log n)

我是如何获得 T 函数的值的？让我们从求解 T(n/2) 开始。

T(n)=T(n/2)+1。加 1 是我们完成递归后基本操作需要多长时间。 T(n/2) = T(n/4) + 1 因此 T(n) = T(n/4) + 2

我们可以推断出 T(n) = T(n/2^k) + k。

T(1) 是我们的基本情况，所以让 n/2^k 等于 1 并求解 k。

K = log n (base 2)

所以这意味着这个函数有 O(log n) 的大 O。

可以对 T(n^3/3) 进行相同的数学运算。

如果这没有任何意义，请告诉我。

【讨论】：