为什么我们在那里使用幺半群和仿函数？

Question

我是 Haskell 的新手。
我不明白为什么我们在下面的代码中使用幺半群和 instance Functor Matrix 以及 instance Functor Matrix 是如何工作的？

instance Functor Matrix where
    fmap f (M n m v) = M n m $ fmap (fmap f) v

instance Num a => Num (Matrix a) where
    fromInteger = M 1 1 . V.singleton . V.singleton . fromInteger
    negate = fmap negate
    (+) = add
    (*) = mult
    abs = fmap abs
    signum = fmap signum

scalarMult :: Num a => a -> Matrix a -> Matrix a
    scalarMult = fmap . (*)

我知道函子对于negate、(*)、abs、signum 是必需的，但我需要详细说明。请帮帮我。

Answer 1

Functors 是一个很简单的东西，名字很复杂。简单地说，Functors 是容器，您可以通过 fmap 函数将函数映射到其值上。列表是最熟悉的Functor，因为fmap 只是map。其他Functors 包括Maybe、IO 和Either a。

在这个 sn-p 中，您将 Matrix 定义为 Functor，因此您告诉编译器 Matrix 是一个可以映射函数的容器。对于这个问题，fmap 用于定义 Num 类型类中的几个函数。很容易看出这是如何工作的（假设有一个 fromList :: [[a]] -> Matrix a 函数）：

> fmap id $ fromList [[1, 2], [3, 4]]
fromList [[1, 2], [3, 4]]
> fmap (+1) $ fromList [[1, 2], [3, 4]]
fromList [[2, 3], [4, 5]]
> fmap show $ fromList [[1, 2], [3, 4]]
fromList [["1", "2"], ["3", "4"]]

对于其他Functors：

> fmap (+1) [1, 2, 3]
[2, 3, 4]
> fmap (*10) (Just 1)
Just 10
> fmap (*10) Nothing
Nothing

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至于Data.Monoid为什么要在Data.Matrix的源中导入，完全是因为函数原因

-- | Display a matrix as a 'String' using the 'Show' instance of its elements.
prettyMatrix :: Show a => Matrix a -> String
prettyMatrix m@(M _ _ v) = unlines
 [ "( " <> unwords (fmap (\j -> fill mx $ show $ m ! (i,j)) [1..ncols m]) <> " )" | i <- [1..nrows m] ]
 where
  mx = V.maximum $ fmap (V.maximum . fmap (length . show)) v
  fill k str = replicate (k - length str) ' ' ++ str

作者选择使用<> 而不是++ 将字符串连接在一起，这是Monoid 列表的一种相当普通的用法。它与Matrix 类型完全无关。