为什么只有 Applicative 需要 `pure` 而 Functor 不需要？ [复制]

Question

阅读this Wikibook about Haskell and Category Theory basics，我了解了Functors：

函子本质上是类别之间的转换，所以给定 类别 C 和 D，函子 F : C -> D

将 C 中的任何对象 A 映射到 D 中的 F(A)。

将 C 中的态射 f : A -> B 映射到 D 中的 F(f) : F(A) -> F(B)。

...听起来不错。稍后提供示例：

让我们也有一个示例实例：

instance Functor Maybe where
  fmap f (Just x) = Just (f x)
  fmap _ Nothing  = Nothing

这是关键部分：类型构造函数 Maybe 将任何类型 T 转换为 新类型，Maybe T。此外，仅限于 Maybe 类型的 fmap 需要一个 函数 a -> b 到函数 Maybe a -> Maybe b。但就是这样！我们已经 定义了两个部分，将 Hask 中的对象转换为 另一个类别（Maybe 上定义的 Maybe 类型和函数） 类型），以及将 Hask 中的态射转换为 这个类别。所以 Maybe 是一个函子。

我了解fmap 的定义是关键。我对“类型构造函数 Maybe”如何提供第一部分感到困惑。我宁愿期待像pure 这样的东西。

如果我做对了，Maybe 宁可将C 映射到D。 （因此是类别级别的态射，这可能是 Functor 的要求）

我想你可以这样改写我的问题：是否有一个 Functor 没有明显的 pure 实现？

Answer 1

我认为您对类型和值感到困惑。下面是函子的定义：

让 C 和 D 为 categories。从 C 到 D 的 函子 F 是一个映射：

• 将每个对象 X ∈ C 关联到一个对象 F(X) ∈ D。

• 关联到每个态射 f : X → Y ∈ C 一个态射 F(f) : F(X) → F(Y) ∈ D 使得以下条件成立：

  • F(id : X → X) = id : F(X) → F(X) 对于每个对象 X ∈ C。
  • F(g ∘ f) = F(g) ∘ F(f) 对于所有态射 f : X → Y 和 g : Y → Z.

类别由对象和对象之间的态射组成。

Haskell 中的所有代码都是 Hask 的一部分，Haskell 类别。在 Hask 中：

1. 类型就是对象。
2. 函数是类型之间的态射。

因此，Haskell 中的所有 Functor 实例都是从 Hask 到 Hask 的函子（即它们是内函子）。

更严格地说，对于 Haskell 中的所有 Functor 实例：

1. C = Hask。
2. D = Hask。

现在，每个函子 F 是一个映射，它与每个对象 X ∈ C 关联一个对象 F(X) ∈ D。

1. 请注意，X 和 F(X) 分别是 C 和 D 的对象。
2. 由于C和D都是Hask，所以X和F(X) 是类型而不是值。
3. 因此，F : Type → Type 或在 Haskell 中 f : * -> *。

确实，这正是 Haskell 中 Functor 类型类的定义方式：

class Functor (f : * -> *) where
    fmap :: (x -> y) -> (f x -> f y)

这里，fmap 是函子的第二部分。这是一个从值到值的函数。但是，Functor 本身是一个类型构造函数（即从类型到类型的映射）。这就是Maybe 是函子而[] 是函子但Maybe Int 和[Int] 不是函子的原因。

请注意，pure 不是函子定义的第一部分，因为它是从 X 实例到 F(X) 实例的映射（即它是一个从值到值的函数）。但是，我们需要从 X 到 F(X) 的映射（即从类型到类型的映射）。

Answer 2

如果我做对了，Maybe 宁可将C 映射到D。 （因此是类别级别的态射，这可能是 Functor 的要求）

不是真的，因为 C 和 D 有类别，而不是 Haskell 类型。 Functor（即类型类的实例，与一般的函子相反）是从 Hask 类别（Haskell 类型和函数的类别）到 的映射Hask 本身；也就是说，C 和 D 在这种情况下都是 Hask。 Wikibook 章节在 Hask 上的 Functors 部分提到了这一点。在您的示例中，Maybe 类型构造函数通过将某些类型 a（Hask 中的对象）转换为类型 Maybe a（ 中的另一个对象）来提供映射的第一部分哈斯克）。

我想你可以这样改写我的问题：是否有一个 Functor 没有明显的 pure 实现？

一个例子是Functor，(,) a。 fmap 很容易写——\f (x, y) -> (x, f y)——但pure 和(<*>) 需要Monoid 约束a，否则将无法处理额外的a 值。有关更多讨论和其他示例，请参阅Good examples of Not a Functor/Functor/Applicative/Monad?

Answer 3

我会说Applicative 的实例有点成为Either 的延伸（如果我有一个Bifunctor 的实例就可以了，但另一方面将它用作Monad 是方便），并且（恕我直言）不适合以下情况：

data ABC a = A a | B a | C a

所有 A、B、C 都“同样可以”。由于没有明显的选择应该用于pure，因此根本不应该提供它。不过，拥有fmap 仍然很好。

Answer 4

分类 Hask 的类型为对象，函数为箭头，因此 Functor 实例提供的对象映射必须将类型映射到类型。

fmap 映射箭头，即将函子 f 的函数 a -> b 映射到函数 f a -> f b。 Functor 类型构造函数是对象的映射，即类型之间的映射。

例如，Maybe 类型构造函数将类型 t 映射到类型 Maybe t，例如String 到 Maybe String。

相比之下，pure 将某些底层类型的值映射到相应应用类型的值，例如"abc" 和 (Just "abc") 分别是 String 和 Maybe String 的值。