Haskell - 评估 (+) <$> (+3) <*> (*100) $ 5答案

【问题标题】：Haskell - Evaluation of (+) <$> (+3) <*> (*100) $ 5Haskell - 评估 (+) <$> (+3) <*> (*100) $ 5
【发布时间】：2015-07-01 03:25:37
【问题描述】：

From the chapter on Functors in Learn You a Haskell for Great Good，Lipovača 说：

“当我们执行(+) <$> (+3) <*> (*100) 时，我们正在创建一个函数，它将在(+3) 和(*100) 的结果上使用+ 并返回它。为了演示一个真实的例子，当我们执行@987654326 时@，5首先被应用到(+3)和(*100)，产生8和500。然后，+被8和500调用，产生508。 "

但是，如果我尝试自己评估函数，考虑到函子 ((->) r) 上的 Applicative 的这个定义：

instance Applicative ((->) r) where  
    pure x = (\_ -> x)  
    f <*> g = \x -> f x (g x)

我将上述表达式的评估读为：

(\x -> (3 + x) (100 * x)) $ 5

但我不明白我们如何将两个部分应用的二进制函数组合为一个 lambda（事实上，GHCi 会抛出一个无限类型错误，试图将它绑定到一个变量）。此外，根据工作解释，如果我们查看 <$> 的类型定义，我们会得到：

(<$>) :: Functor f => (a -> b) -> f a -> f b

或者更具体地说，我们可以将其提升视为：

(<$>) :: Functor f => (a -> b) -> (f a -> f b)

考虑到在这种情况下我们的函子是 ((->) r)，我可以推断这就是在之前的评估中发生的转换（假设左关联首先发生，而不是 @987654341 的右关联应用@):

(\x -> a + b) 其中a = (+ 3) 和b = (* 100)。这是应该返回的函数。但是，我假设这是最终（粗略）形式是否正确？

(\x -> (3 + x) + (100 * x)) $ 5

...产生 508。

我发现 Lipovača 的描述在表达式如何工作方面更容易理解，但我的直觉告诉我，对于 Haskell 编译器引擎盖下的血腥细节来说，这并不完全正确。我更容易认为 (+) 的 fmap 首先发生导致具有两个函子的函数，这两个函子是接受共享输入的部分应用函数，然后我们对其应用了一个值。由于惰性评估，我们可以这样做。这是错的吗？

【问题讨论】：

标签： haskell functor applicative

【解决方案1】：

首先，请注意<$> 和<*> 都关联到左侧。内部没有什么神奇的事情发生，我们可以看到本质上是一系列 eta 扩展和 beta 减少的转变。一步一步，它看起来像这样：

(((+) <$> (+3))         <*> (*100)) $ 5        -- Add parens
((fmap (+) (+3))        <*> (*100)) $ 5        -- Prefix fmap
(((+) . (+3))           <*> (*100)) $ 5        -- fmap = (.)
((\a -> (+) ((+3) a))   <*> (*100)) $ 5        -- Definition of (.)
((\a -> (+) (a+3))      <*> (*100)) $ 5        -- Infix +
((\a b -> (+) (a+3) b)) <*> (*100)) $ 5        -- Eta expand
(\x -> (\a b -> (+) (a+3) b) x ((*100) x)) $ 5 -- Definition of (<*>)
(\x -> (\a b -> (+) (a+3) b) x (x*100)) $ 5    -- Infix *
(\a b -> (+) (a + 3) b) 5 (5*100)              -- Beta reduce
(\a b -> (a + 3) + b)   5 (5*100)              -- Infix +
(5 + 3) + (5*100)                              -- Beta reduce (twice)
508                                            -- Definitions of + and *

有点令人困惑的是，$ 关联到右边这一事实与这里发生的事情的关系比它的固定性为 0 的事实要少。如果我们定义一个新的运算符，我们可以看到这一点：

(#) :: (a -> b) -> a -> b
f # a = f a
infixl 0 #

在 GHCi 中：

λ> (+) <$> (+3) <*> (*100) # 5
508

【讨论】：

非常感谢，这正是我想要的。我将不得不更多地研究 Eta 和 Beta 扩展和缩减以供将来阅读。尽管$ 是右关联的，但它被应用于一个thunk（将所有发生在$ a thunk 左侧的映射都称为安全吗？）因此所有这些都会被评估，对吧？
@RJS 你可以想到f $ a“表现得像”(f) (a) 其中f 和a 是可以有空格的代码位（虽然它并不总是那样，尤其是当$s 被链接时，但我经常这样想）。我添加了一些关于固定性的内容，我可能应该对此进行扩展。顺便说一句，实际上有一个（非常好的）论点可以让$ 左关联。我不确定成为一个笨蛋有什么关系。你这是什么意思？
啊，我的语义错了；所有未评估的参数都是 thunk 的糟糕假设就是全部。
@RJS 好吧，未评估的参数是一个 thunk 是正确的（除非它被完全优化，也许）。某些东西是 thunk 的事实通常只在查看性能、无限大的结构、无限循环或产生错误的表达式时才重要。特别是，在没有无限事物和错误/异常的情况下，thunk 不会改变事物的含义（性能特征之外）。
顺便说一下，eta 扩展/缩减和 beta 缩减是 lambda 演算中的术语。本质上，eta 扩展意味着采用表达式f（其中f 是一个函数）并将其转换为\x -> f x。 Eta 减少则相反。 Beta 减少正在减少功能应用程序：(\x -> f x) a 变成了f a。变量捕获有一些微妙之处，但在制作编译器或解释器时这是最重要的。重要的是要记住，当您手动执行此操作时，您应该使用新变量，以免发生名称冲突。