java中的浮点数和双精度数有多少位有效数字？答案

【问题标题】：How many significant digits do floats and doubles have in java?java中的浮点数和双精度数有多少位有效数字？
【发布时间】：2012-11-24 16:09:52
【问题描述】：

浮点数有 32 位二进制数，双精度数有 64 位二进制数吗？文档太难理解了。

所有位都转换为有效数字吗？还是小数点的位置占用了一些位？

【问题讨论】：

所有这些位都转换为有效数字吗？还是小数点的位置占用了一些位？
@user1774214 浮点数根本不像整数那样编码。看看我给的链接。例如，您必须了解精度不统一。
@dystroy 我不确定您所说的“精度不统一”是什么意思。除非您指的是非规范化，否则它的精度非常一致，为 53 位和 24 位。
@PascalCuoq 对于较小的数字，精度更高。随着指数的变化（或点浮动），尾数保持代表相同数量的数字。因此，如果数字很大，尾数“无法达到”较低的有效数字，从而降低精度。
@Virtuel 精度为 53 位。那就是我们所说的精度。您似乎在考虑绝对准确度之类的。

标签： java floating-point

【解决方案1】：

float：32 位（4 个字节），其中 23 位 用于尾数（大约 7 个十进制数字）。 8 位用于指数，因此浮点数可以使用这 8 位将小数点向右或向左“移动”。这样做可以避免在尾数中存储大量零，如 0.0000003 (3 × 10^-7) 或 3000000 (3 × 10⁷)。有 1 位用作符号位。

double：64 位（8 字节），其中 52 位 用于尾数（大约 16 位十进制数字）。 11位用于指数，1位为符号位。

由于我们使用二进制（只有 0 和 1），所以当数字非零时，尾数中的一位隐含为 1（浮点数和双精度数都使用此技巧）。

此外，由于所有内容都是二进制（尾数和指数），因此转换为十进制数通常不准确。像 0.5、0.25、0.75、0.125 这样的数字被精确存储，但 0.1 不是。正如其他人所说，如果您需要精确存储美分，请不要使用 float 或 double，使用 int、long、BigInteger 或 BigDecimal。

来源：

http://en.wikipedia.org/wiki/Floating_point#IEEE_754:_floating_point_in_modern_computers

http://en.wikipedia.org/wiki/Binary64

http://en.wikipedia.org/wiki/Binary32

【讨论】：

6 到 9 是什么意思？它怎么能改变？因此，如果我多次运行一些具有 8 个十进制数字（如 0.000000001）的代码，我会得到不同的结果吗？你是这个意思吗？
有些数字可以比其他数字更准确地表示为二进制。您可以看到 0.125（1/8，8 是 2 的幂）和 0.1（1/10，10 不是 2 的幂）的差异。前者有更多（十进制）数字，但表示精确。因此，一个 6 位小数的数字可能比另一个 8 位数字具有更大的舍入误差。
double 为 15.9 个十进制数字，float 为 7.2 个十进制数字，即 15 和 7。在每种情况下都可以表示一些更大的数字，但它们都不适用于分数，但有这不是“平均水平”，您的消息来源也没有其他说法。
如果您不喜欢“平均”这个词，请提出修改建议。它一开始不是我添加的，而是由其他人编辑的……（我真的没有看到需要编辑）。
有趣的是，实际上比存储在尾数/有效数字中的精度多一位。分别为 float 和 double 存储 23 位和 52 位，但由于数字已标准化，我们可以假设前导 1 位，然后将其省略。这就是有效精度分别为 24 位和 53 位的原因。精确的小数精度计算 log10(2^24) = 7.22 和 log10(2^53) = 15.95

【解决方案2】：

32 位浮点数大约有 7 位精度，64 位双精度大约有 16 位精度

长答案：

浮点数包含三个部分：

一个符号位，用于确定数字是正数还是负数。
指数，用于确定数字的大小。
一个分数，它确定两个指数值之间的距离是。这有时称为“the significand, mantissa, or coefficient”

基本上，这适用于sign * 2^exponent * (1 + fraction)。规模” 这个数字的指数，与我们无关，因为它只是缩放分数部分的值。知道log₁₀(n) 给出了 n 的数字，† 我们可以确定浮点数的精度与log₁₀(largest_possible_fraction)。因为浮点数中的每个位存储 2 可能性，n 位的二进制数可以存储最多 2ⁿ - 1 的数字（a 2ⁿ values 的总数，其中一个值为零）。这有点毛茸茸的，因为事实证明浮点数是用一个存储的比他们可以使用的分数少，因为零是专门表示的并且所有非零数都至少有一个非零二进制位。‡

结合这一点，浮点数的精度位数是 log₁₀(2ⁿ)，其中n 是浮点数的位数分数。一个 32 位浮点数有 24 位小数，对应 ≈7.22 个十进制数字精度，并且 64 位双精度有 53 位小数，约 15.95 个十进制数字精度。

有关浮点精度的更多信息，您可能需要阅读 machine epsilon。

† 至少对于n ≥ 1 - 对于其他数字，您的公式看起来更像 ⌊log₁₀(|n|)⌋ + 1.

‡ “这条规则被称为前导位约定，隐含位约定，或隐藏位约定。” (Wikipedia)

【讨论】：

【解决方案3】：

来自java specification：

浮点类型有float和double，概念上是与单精度 32 位和双精度相关联 IEEE 中指定的 64 位格式 IEEE 754 值和操作二进制浮点算术标准，ANSI/IEEE 标准 754-1985（IEEE，纽约）。

如果不了解 IEEE754 基础知识，就很难用数字做任何事情，这里是another link。

重要的是要了解精度不是统一的，并且这不是对整数的精确存储。

一个例子：

double a = 0.3 - 0.1;
System.out.println(a);

打印

0.19999999999999998

如果您需要任意精度（例如出于财务目的），您可能需要Big Decimal。

【讨论】：

【解决方案4】：

一个普通的数学答案。

了解浮点数实现为一些位表示指数，其余的，大多数为数字（在二进制系统中），有以下情况：

如果指数较高，例如 10²³，如果最低有效位发生变化，则两个相邻可区分数字之间会出现很大差异。此外，以 2 为底的小数点使得许多以 10 为底的数字只能近似； 1/5、1/10 是无穷无尽的数字。

所以在 general 中：如果您关心有效数字，则不应使用浮点数。对于具有计算 e,a 的货币金额，最好使用 BigDecimal。

physics 浮点 doubles 就足够了，floats 几乎没有。此外，处理器的浮点部分 FPU 甚至可以在内部使用更高的精度。

【讨论】：

【解决方案5】：

浮点数使用指数形式编码，类似于m * b ^ e，即根本不像整数。你问的问题在fixed point numbers 的上下文中是有意义的。有许多 fixed point arithmetic libraries 可用。

关于浮点运算：小数位数取决于表示和数字系统。例如，有周期数 (0.33333) 在十进制中没有有限表示，但在二进制中有一个，反之亦然。

另外值得一提的是，直到某一点的浮点数确实有大于一的差异，即value + 1 产生value，因为value + 1 不能使用m * b ^ e 编码，其中@987654330 @、b 和 e 的长度是固定的。小于 1 的值也会发生同样的情况，即所有可能的代码点的距离都不相同。

因此，n 数字的精度与定点数字不同，因为并非每个具有 n 十进制数字的数字都具有 IEEE 编码。

您应该阅读一份几乎是强制性的文档，其中解释了浮点数： What every computer scientist should know about floating point arithmetic.

【讨论】：

+1 用于提及“每个计算机科学家都应该了解的浮点运算知识”。然而，值得注意的是，每一个数都有一个有限的二进制分数表示，也有一个有限的十进制表示。问题只是从十进制到二进制。

【解决方案6】：

查看Float.intBitsToFloat 和Double.longBitsToDouble，它们可以解释位如何对应于浮点数。特别是，普通float 的位看起来像

 s * 2^exp * 1.ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVW

其中 A...W 是 23 位 -- 0 和 1 -- 表示二进制中的小数 -- s 是 +/- 1，分别由 0 或 1 表示，exp 是有符号的 8 位整数。

【讨论】：