来自两个不同集合的子集的位掩码答案

【问题标题】：Bit masks for subsets from two different sets来自两个不同集合的子集的位掩码
【发布时间】：2017-08-15 17:25:31
【问题描述】：

我有两套-

set1 - {i1,i2,i3...iN1}

set2 - {k1,k2,k3...kN2}

对于任何 n 个项目的集合，我可以使用位掩码 0-2^n -1 表示所有可能的子集。同样，我该如何表示 -

set1 和 set2 的所有可能子集，其中至少 1 个项目来自不同的集合。

例如
{i1,i2,k1} 有效

但是 {i1,i2} - 无效，因为它没有来自 set2 的项目。

我正在尝试生成两件事 -

一种可以给我计算所有子集的等式，就像我们有 2^n 个子集用于单个 n 项集。
位编码/掩码，我可以使用它来表示上述类型的子集。

【问题讨论】：

集合是否不相交？
不，它们可以有共同的数字。
@GD 要清楚这个问题，所以如果一组 A 有 = {1,2,3} 并且 B 有 = {2} 并且我的最后一组有来自 A 的 1 和来自 B 的 3 并且所以最终的集合看起来像 - {1,3}，根据提供的约束，这会被认为是一个有效的子集吗？
@zenwraight 是的，它只是至少 1 项应该存在于第二组中，否则它不再是两组的子集。
@G.D 是的，它们是不相交的集合，然后它变得非常容易，因为它归结为一个简单的组合问题......

标签： algorithm bit-manipulation

【解决方案1】：

如果我们引入一些额外的兴趣组，这将更容易。我们称这两个输入集为 S1 和 S2；我们将定义集合 L、C 和 R（用于左、中和右）。将这些视为维恩图。因此，定义 L = S1 \ S2，即 S1 中根本不在 S2 中的元素； C = S1 ∩ S2，同时在 S1 和 S2 中的元素，并且 R = S2 \ S1。我们也分别为这些集合的大小写 l、c 和 r。

现在我们准备回答问题 1：有多少 S1 ∪ S2 的子集有一个来自 S1 的元素并且有一个来自 S2 的元素？有两种情况需要考虑：或者我们有一个包含 C 中的元素的子集（它同时满足“来自 S1 的元素”和“来自 S2 的元素”子句），或者我们在 C 中没有元素并且至少有一个每个来自 L 和 R。在第一种情况下，C 有 (2^c - 1) 个非空子集，其余部分有 2^(l+r) 个子集，因此有 (2^c - 1) *2^(l+r) 在这种情况下设置。第二种情况，L有2^l - 1个非空子集，R有2^r - 1个非空子集，所以有(2^l - 1) * (2^r - 1)个子集在这种情况下。将这两种情况相加，我们总共有 2^(c+l+r) - 2^l - 2^r 个满足条件的子集。

如果您对非空子集有一个花哨的表示，这也立即建议了一种用于存储这些的数据结构：您所处的情况下的单个位标记，加上子集和非空子集的适当表示每个案例。

但我可能只使用一个大小为 c+l+r 的位掩码，即使有一些“无效”位掩码：它非常紧凑，很容易检查有效性，并且位掩码上有许多廉价的操作。

【讨论】：