匈牙利算法 - 维基百科方法不适用于此示例

Question

我正在尝试用 C 语言实现匈牙利算法。

我有矩阵：

35  0  0  0
 0 30  0  5
55  5  0 10
 0 45 30 45

我已经到了必须找到覆盖所有零的最少行数的阶段（进行尽可能多的分配）。显然，通过检查，这是第 1 列和第 3 列以及第 1 行。

Wikipedia suggests the following method:

• 第 1 行有三个零：选择任何一个（我选择第一个）并分配它
• 第 2 行：分配第一个零
• 第 3 行：分配第三个零
• 第 4 行未分配（因为唯一的零位于已分配零的列中）

如果我在上面的矩阵中遵循这个，我会得到：

35   0'  0   0
 0' 30   0   5
55   5   0' 10
 0  45  30  45

其中零素数是分配的零。然后，按照下面 Wikipedia 的说明，我标记第 4 行（未分配的零）、第 1 列（未分配零的列），然后是第 2 行（标记的列中包含零的行）。

所以这表明达到全零的最小行是：

+--------
|
+--------
|

但这并没有达到(2, 3) 的零。相关C代码：

for (i = 0; i < M->size; i++) {
    for (j = 0; j < M->size; j++) {
        if (M->values[i][j] == 0) {
            if (assigned_cols[j] == 0) {
                assigned_cols[j] = 1; // We've assigned something in this col
                assigned_rows[i] = 1; // We've assigned something in this row.
                marked_rows[i] = 0;
                total--;
                break; // Go to the next row
            } else {
                marked_cols[j] = 1; // Then there exists a zero in this col in an unassigned row
                mark_col(M, j); // marks all elements in column j
                total++;
            }
        }
    }
}

此代码选择哪些零是零素数（分配零）。

然后这段代码在新标记的列中标记所有具有赋值的行：

 for (i = 0; i < M->size; i++) {
    if (marked_cols[i] == 1) {
        for (j = 0; j < M->size; j++) {
        //iterating through rows
            if (M->values[j][i] == 0) {
                // then (j,i) is a zero in a marked col
                // mark the row
                if (marked_rows[j] != 1) {
                    total++;
                    marked_rows[j] = 1;
                }
                break; // no need to continue more
            }
        }
    }
}

但是对于我上面的矩阵，这个（以及维基百科的解释）失败了。怎么会？

Answer 1

维基百科对算法缺乏解释，作业将在最后一步完成！

步骤 0

35  0  0  0
 0 30  0  5
55  5  0 10
 0 45 30 45

步骤 1-2 所有行列都至少有一个 0，因此步骤 1 使数组保持不变

35  0  0  0
 0 30  0  5
55  5  0 10
 0 45 30 45

第 3 步
矩阵中的所有零必须通过标记尽可能少的行和/或列来覆盖

- - - -
|   |
|   |
|   |

请注意，到目前为止还没有完成任何作业，您需要覆盖all zeros。你的封面没有覆盖零（2,3）！

现在取未覆盖的 min 元素，例如 5（在位置 (2,4) 取 5）

-减少（减少 5）所有未覆盖的元素。
- 将所有被两条线交叉的元素增加（5 倍）。
-其余保持不变
所以数组：

40  0  5  0
 0 25  0  0
55  0  0  5
 0 40 30 40

现在再次检查所需的最少行数：现在您需要 4 行（等于数组行的大小 n=4，所以我们停止）。

最后分配： 从只有一个零的行开始，这肯定会被分配：

40  0  5  _
 0 25  _  0
55  _  0  5
 _ 40 30 40

存在多个赋值（我使用 _ 进行赋值）。

更具体地说，我们得到了两项任务：（上述一项，总成本为 5）和：

40  _  5  0
 0 25  0  _
55  0  _  5
 _ 40 30 40

同样花费 5！

---

编辑

根据评论，我似乎没有得到 op 要求的确切部分，所以我将回答这个特定部分，保留上述算法的一般描述。

错误（由于错误的维基百科描述）在这里：

其中零素数是分配的零。然后，按照维基百科的 下面的说明，我标记第 4 行（未分配的零），第 1 列（col 与 未分配的零），然后是第 2 行（标记列中有零的行）。

到现在为止完全同意，但是……还不完整！！！

正确标记第 2 行时，您需要转到第 2 步（维基百科的） 并在这种情况下再次检查列为零的列，第 3 列应该 也被标记，这也会导致第 3 行也被标记（由于在新标记的第 3 列中分配了零）和 你停在那里（不应标记其他行或列）！！

所以总体上标记的列和行：

 +       +
35   0'  0   0
 0' 30   0   5  +
55   5   0' 10  +
 0  45  30  45  +

以及通过选择标记的列和未标记的行获得的行：

- - - -
|   |
|   |
|   |

这是答案第一部分中描述的正确结果，并导致下一阶段的正确结果（也在上面解释过）。

可以在 ma​​thstackexchange 上找到一篇非常相似的帖子，其中陈述字面意思相同：

finding the minimum number of lines to cover all zeros in an assignment probem