将“既不……也不”翻译成数学逻辑表达式

Question

在翻译既不...也不复杂的句子时遇到一些困难。

使用这些字符：

~  Negation
V  Disjunction
&  Conjunction

我正在尝试翻译和理解，例如：

“John 和 Mary 都没有站在 Jim 或 Cary 的前面”

有人告诉我，“e 和 a 都不在 c 的右边”的成功翻译如下：~(RightOf(e, c) V RightOf(e, c))

如果只是翻译一下：“我既不喜欢巧克力也不喜欢香草”

~(点赞(巧克力) V点赞(香草))

任何值得深思的东西都将不胜感激。

Answer 1

正如@Nickolodeon 所说，De Morgan's laws 是理解“neither/nor”语句的关键。这些法律可能看起来有点吓人，但它们有一个非常自然的解释。 “既不是 P 也不是 Q”形式的陈述可能有点难以处理，因为自然句子不是这样形成的。但是，“P 和 Q 都不是”可以改写为“P 不是这种情况，Q 也不是这种情况”。如果我们有一个自然的句子，比如“我既不喜欢巧克力也不喜欢香草”，我们可以把它改写成这样的形式：“不是我喜欢巧克力，也不是我喜欢香草”。然后，我们看到语句“我喜欢巧克力”扮演了 P 的角色，而“我喜欢香草”扮演了 Q 的角色，我们的句子确实是“Neither P nor Q”的形式。但让我们坚持“P 不是这样，Q 不是这样”的表述，它可以用符号写成“~P & ~Q”。声称 P 和 Q 都是假的与声称它们都不为真是一样的。这可以重新表述为“P 和 Q 中至少有一个为真”，这是对“P 和 Q 中至少一个为真”的否定——在符号中，“~(P V Q)”。这是德摩根定律之一，也可以用真值表来验证。另一条定律背后也有类似的推理，即“~P V ~Q”等价于“~(P & Q)”。

许多逻辑句子可以用谓词来表述，这有助于我们清楚地区分我们所做的单个陈述（我们现在称为谓词）和我们所陈述的对象。例如，翻译“我不喜欢巧克力，我不喜欢香草”的另一种方式是“~L(chocolate) & ~L(vanilla)”，其中“L( x)”的意思是“我喜欢 x”。现在，句子的结构更清晰了：我们在做同样的断言，但是关于两个不同的对象。使用谓词时，我们获得了更大的灵活性来操纵我们的语句，但是旧规则（例如 De Morgan 的规则）仍然适用，因此将该句子重写为“~(L(chocolate) VL(vanilla))”仍然有效。

现在，让我们首先考虑“John 和 Mary 都没有站在 Jim 或 Cary 的前面”作为关于 John 和 Mary 的陈述。那么谓词是 F(X)：“X 站在 Jim 或 Cary 的前面”，我们可以首先将句子改写为“不是 John 站在 Jim 或 Cary 的前面，而是不是 Mary 站在 Jim 或 Cary 的前面”，这在符号中变成了“~F(John) & ~F(Mary)”。如果我们愿意，我们可以将句子视为关于所有四个人的相对位置的陈述，使用谓词 G(X, Y)：“X 站在 Y 的前面”。然后，“X 站在 Jim 或 Cary 的前面”，我们可以重写为“X 站在 Jim 的前面，或者 X 站在 Cary 的前面”变成“G(X, Jim) VG(X, Cary)”，整个句子变成“~(G(John, Jim) VG(John, Cary)) & ~(G(Mary, Jim) VG(Mary, Cary))”。现在，尝试使用 DeMorgan 定律（首先在每个最里面的语句上，然后在最外面的语句上）并查看结果 - 并尝试“看到”结果语句表达的是相同的东西。